Подмножества (Включение, универсум, пустое множество, множество всех подмножеств Р(А))

Если каждый элемент множества А являются одновременно и элементом множества В, то А называют подмножеством множества В, и пишут А Í В. В случае, когда А Í В, но А ¹ В, говорят, что А есть собственное подмножество В, и обозначают А Ì В.

Ясно, что: 1) А Í А;

2) если А Í В, В Í С, то А Í С;

3) если А Í В, В Í А, то А = В.

Нужно различать отношения принадлежности (Î) и включения (Í). Если А = {а₁, а₂,,..., а_n}, то а₁ Î А, но а₁ Ë А, т.к. а₁ не является множеством, а значит и подмножеством А. Однако, если ввести в рассмотрение множество А₁, состоящее из одного элемента а₁ , А₁ = {а₁}, то А₁ Í А или {а₁} Í А.

Множество, не содержащее элементов, называется пустым множеством и обозначается Æ.

Например, множество действительных корней уравнения х ² + 1 = 0 является пустым множеством. Этот простой пример иллюстрирует целесообразность введения понятия пустого множества.

Пустое множество есть подмножество любого множества. Если определить множество С = {Æ}, то оно содержит элемент - пустое множество.

Сами множества могут становиться элементами других множеств. Если А = { а₁, а₂ }, В = { b₁, b₂ }, то D = { A, B } не содержит в качестве элементов а₁ или b₁ , т.е. а₁ Ï D, но А Î D.

Для множества {a, b} рассмотрим все его подмножества: {a}, {b}, {a, b} и Æ. Тогда множество {Æ, {a}, {b}, {a, b}} представляет из себя - “множество всех подмножеств“ исходного множества {a, b}. Аналогично, для любого множества А можно определить множество всех его подмножеств S(A).

Множество, элементами которого являются все возможные элементы всех возможных множества, принято называть универсальным множеством(универсумом) и обозначать U. Таким образом, всякое множество является подмножеством универсального множества U.

Упражнения. 1.Приведите 2 – 3 примера множеств и их некоторых подмножеств.

2. Определите сколько элементов содержит множество S(A), если множество А содержит 0, 1, 2, 3, …, n элементов.

Способы задания множеств (Интуитивный принцип абстракции А = { x / P(x) }, примеры).

Множества могут задаваться различными способами. Можно просто перечислить все элементы множества, можно задать порождающую процедуру, т. е. указать правило, по которому из каких-то объектов строятся элементы множества, можно указать характеристическое свойство элементов данного множества, т. е. свойство, которым обладают элементы множества и только они и т. д. В связи с этим возникает проблема эффективного описания способов задания множеств. Ее решение обычно основано на интуитивном понятии “формы от х”. Под “формой от х” принято понимать конечную последовательность, состоящую из слов и символа х, такую, что если каждое вхождение символа х заменить одним и тем же именем некоторого предмета, то в результате получится истинное или ложное предложение. Например, формами от х будут предложения: “5 делит х”. “ х - родственник Иванова”. Напротив, предложения “для всех х х ² - 4 = (х - 2)(х + +2)” или “существует такое х, что х > 0” не являются формами от х.

Обозначим форму от х через Р(х), тогда можно сформулировать Интуитивный принцип абстракции. Любая форма Р(х) определяет некоторое множество А, а именно множество тех и только тех предметов а, для которых Р(а) - истинное предложение.

Запись А = { x| P(x) } означает, что множество А определяется формой Р(х).

Примеры. 1.{x| x - целое положительное число, меньшее 5} = {1,2,3,4}.

2. {x| x - буква русского алфавита, входящая в слово “мама”} = {а, м}.

3. {x| x = 2n, n - натуральное число } - множество четных натуральных чисел.

Упражнение. Приведите 2 – 3 собственных примера.