Интуитивные представления (Элемент, принадлежность, равенство, интуитивный принцип объемности)

Понятие множества является базовым в математике, на его основе формируются другие понятия. В силу своей общности - это неопределяемое понятие.

Под множеством принято понимать любое собрание (совокупность) определенных и различимых между собой объектов, мыслимое как единое целое. Эти объекты называются элементами данного множества.

В приведенном выше описании понятия множества, которое принадлежит основателю теории множеств немецкому математику Г. Кантору, существенным является то, что собрание объектов (множество) само рассматривается как один предмет, как нечто целое. Относительно предметов, которые могут входить во множество, допускается значительная свобода. Важно, что наша интуиция должна, во-первых, отделять их один от другого даже тогда, когда их нельзя точно указать (например, множество простых чисел), во-вторых, давать ответ на вопрос о принадлежности объекта данному множеству. Последнее тесно связано со способами задания множеств.

Тот факт, что объект а является элементом множества А, другими словами а принадлежит множеству (содержится в множестве) А, символически обозначается а Î А. В противном случае пишут а Ï А.

Г. Кантор сформулировал несколько интуитивных принципов, которые естественно считать выполняющимися для произвольных множеств. В частности интуитивный принцип объемности, который оговаривает условия равенства (тождественности) объектов нашей теории, а, следовательно, и их различия.

Интуитивный принцип объемности. Множества А и В считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Записывают А = В, если А и В равны, и А ¹ В - в противном случае.

Пример. Пусть А - множество действительных корней уравнения х² - 7х + 6 = 0, а множество В состоит из чисел 1 и 6. Числа 1, 6 и только они являются корнями уравнения, следовательно, в силу принципа объемности заключаем, что А = В.

Множество А, элементами которого являются объекты а₁, а₂,..., а_n и только они, обозначают А = {а₁, а₂,..., а_n}.

Упражнение. Приведите два примера равных множеств.