![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
1. Упростить выражение:
x = 2(
- 2
) + 6
2. Заданы вершины треугольника А(-1, -2, 4), B(-4, -1, 2) и C(-5, 4, -6); BD- его высота. Найти координаты точки D (использовать скалярное произведение двух векторов).
3. Сила F = 2 i - 4 j +5 k приложена к точке А (4, -2, 3). Определить момент этой силы относительно точки О(3, 2, -1).
4. Даны три силы: (2, -1, -3),
(3, 2, -1) и
(-4, 1, 3), приложенные к точке А(-1, 4, 2). Определить величину и направляющие косинусы момента равнодействующих этих сил относительно точки О(2, 3, -1).
5. Заданы прямая l: x - 1/2 = y/1 = z + 1/0 и точка М(0, 1, 2).
1.написать уравнение плоскости, проходящей через точку М перпендикулярно прямой l.
2.написать уравнение плоскости, проходящей через прямую l и точку М.
6. Определить, как расположена прямая относительно эллипса: пересекает, касается или проходит вне его, если прямая и эллипс заданы уравнениями:
2 x - y - 3 = 0, x²/16 + y²/9 = 1
7. Написать уравнение гиперболы, если известно, что ее фокусами являются точки
F1(-3, -4) и F2(3, 4), а расстояние между директрисами равно 3.6.
8. Написать уравнение параболы, если известны фокус F(4, 3) и директриса d: y + 1 = 0.
9. Записать уравнение кривой x² + y² =ax в полярной системе координат.
10. Определить, какие геометрические образцы определяются заданными уравнениями:
а) z + 5 = 0
б) (x - 2)² + y² + (z + 1)² = 16
в) x² + 2y² + 2z² + 7 = 0
г) x² - 4z² = 0
Контрольные вопросы
1. Дайте определение коллинеарности и компланарности двух векторов.
2. Операции над векторами, заданными в координатной форме. Найдите координаты суммы векторов:
(1, 2, -3),
(0, -2, 5),
(4, 0, -2)
3. Дайте определение скалярного произведения. Укажите физический смысл скалярного произведения двух векторов.
4. Основные свойства скалярного произведения. Распространяется ли скалярное произведение на три и больше число векторов?
5. Запишите скалярное произведение в координатной форме.
6. Найдите углы, образуемые вектором (4, 0, -3) с осями координат, т.е. с векторами
(1,,0, 0),
(0, 1, 0),
(0, 0, 1).
7. Условия коллинеарности и перпендикулярности векторов.
8. Дайте определение векторного произведения. Основные свойства. Векторное произведение в координатной форме.
9*. Доказать, что [ -
,
+
] =2 [
,
] и выяснить геометрический смысл этого тождества.
10*. Вектор [ , [
,
]] называется двойным вектором произведением заданных векторов. Доказать, что справедливо равенство [
, [
,
]] =
(
,
) -
(
,
).
11.* Доказать основное алгебраическое свойство смешанного произведения: циклическая перестановка векторов не меняет его величины, т.е.
[ ,
]
= [
,
]
= [
,
]
[ ,
]
=
,
,
. Что означает эта запись?
12. Виды задания прямой на плоскости.
13. Прямая l задана точкой M0 (x0, y0) и нормальным вектором (A, B).
1. написать уравнение прямой, привести его к общему виду.
2. привести общее уравнение к нормальному виду и указать расстояние от начала координат до прямой.
14. Прямая l задана точкой M0 (x0, y0) и направляющим вектором
(m, n). Написать уравнение прямой, привести к общему виду..
15. Прямая l задана двумя своими точками M1 (x1, y1) и M2 (x2, y2). Написать уравнение прямой.
16. Заданы прямая l и точка M. Требуется:
1. вычислить расстояние от точки M до прямой.
2. написать уравнение прямой l1, проходящей через точку М перпендикулярно прямой l.
3. написать уравнение прямой l1, проходящей через точку М параллельно заданной прямой l.
17. Виды задания прямой в пространстве.
18. Написать уравнение плоскости Р, проходящей через точки M0(x0, y0, z0) и
M1(x1, y1, z1) параллельно вектору (x, y, z).
19. Прямая l задана общим уравнениями
Написать каноническое уравнение этой прямой.
20. Заданы плоскость Р и точка М0. Написать уравнение плоскости Р1, проходящей через точку М0, параллельно плоскости Р. (P: Ax + By + Cz + D= 0; M0 (x0, y0, z0)).
21. Доказать что прямые
l1: и l2: (x + 7)/3 = (y - 5)/-1 = (z - 9)/4
параллельны.
22. Написать уравнение гиперболы с полуосями a и b и центром в точке С(x0, y0), если известно, что ее действительная и мнимая оси параллельны осям Ox и Oy соответственно.
23. Из фокуса параболы y²=12x под острым углом a к оси OX направлен луч света, причем tg a = 3/4. Написать уравнение прямой, на которой лежит луч, отраженный от параболы.
24. Вывести уравнение прямой в полярной системе координат, если:
a) прямая проходит через полюс;
б) прямая не проходить через полюс.
25. Показать, что параметрические уравнения x = a cos t y = a sin t t Î [0.2p], определяют окружность x² + a² = a².
26. Основные типы поверхности второго порядка.
27. Приведение поверхностей второго порядка к каноническому виду.
Ответы к контрольному заданию
1. 2( +
)
2. (-2, 0, 2)
3. 4 + 3
+ 4
4. , cos a = 1/
, cos b = -4/
, cos c= -7/
5. 1. 2x + y = 0 2. x - 2y = z = 0
6. пересекает.
7. 7y² + 24xy - 144 = 0
8. y = 1/8x² - x + 3
9. r = a cos j
10. a) плоскость z = -5║xOy
б) сфера. R = 4 O (2, 0, -1)
в) пустое множество
г) пара пересекающихся плоскостей.
Ответы
3. Пусть под действием некоторой постоянной во величине и направлению силы F материальная точка сместилась прямолинейно по вектору АО = а, то угол между этими векторами a, тогда
работа A =
= ½
½½
½cos a=½
½
. Если d = 0.
Следовательно направление силы совпадает с направлением перемещения, т.е.
A =| ||
|.
11. [ ,
]
=
,
,
(результат не зависит от того, как расставить квадратичные скобки в правой части. Это вытекает из основного алгебраического свойства смешанного произведения).
18. Указание. (x1 - x0, y1 - y0, z1 - z0) и
(x3y3z3) неколлинеарны.
В качестве нормального вектора к плоскости можно взять = [
,
]. Или можно иначе: использовать условие компланарности трех векторов
,
,
.
19. Указание. В качестве направляющего вектора можно взять = [
,
], точку М найти из системы.
22.
23, y - 18 = 0
24. a) k = tg j б) r = P/cos(j - a)
указание
25. Использовать нормальное уравнение прямой x cos a + y cos b - P = 0.
Учитывать, что cos b = sin a.
Литература
1. Беклеминов Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - М.: Наука, 1990.
2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. - М.: Наука, 1990.
3. Клетеник Д.В. сборник задач по аналитической геометрии. - М.: Наука, 1975.
Дата публикования: 2014-11-04; Прочитано: 992 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!