Контрольное задание. 2. Заданы вершины треугольника А(-1, -2, 4), B(-4, -1, 2) и C(-5, 4, -6); BD- его высота

1. Упростить выражение: x = 2( - 2 ) + 6

2. Заданы вершины треугольника А(-1, -2, 4), B(-4, -1, 2) и C(-5, 4, -6); BD- его высота. Найти координаты точки D (использовать скалярное произведение двух векторов).

3. Сила F = 2 i - 4 j +5 k приложена к точке А (4, -2, 3). Определить момент этой силы относительно точки О(3, 2, -1).

4. Даны три силы: (2, -1, -3), (3, 2, -1) и (-4, 1, 3), приложенные к точке А(-1, 4, 2). Определить величину и направляющие косинусы момента равнодействующих этих сил относительно точки О(2, 3, -1).

5. Заданы прямая l: x - 1/2 = y/1 = z + 1/0 и точка М(0, 1, 2).

1.написать уравнение плоскости, проходящей через точку М перпендикулярно прямой l.

2.написать уравнение плоскости, проходящей через прямую l и точку М.

6. Определить, как расположена прямая относительно эллипса: пересекает, касается или проходит вне его, если прямая и эллипс заданы уравнениями:

2 x - y - 3 = 0, x²/16 + y²/9 = 1

7. Написать уравнение гиперболы, если известно, что ее фокусами являются точки
F1(-3, -4) и F2(3, 4), а расстояние между директрисами равно 3.6.

8. Написать уравнение параболы, если известны фокус F(4, 3) и директриса d: y + 1 = 0.

9. Записать уравнение кривой x² + y² =ax в полярной системе координат.

10. Определить, какие геометрические образцы определяются заданными уравнениями:

а) z + 5 = 0

б) (x - 2)² + y² + (z + 1)² = 16

в) x² + 2y² + 2z² + 7 = 0

г) x² - 4z² = 0

Контрольные вопросы

1. Дайте определение коллинеарности и компланарности двух векторов.

2. Операции над векторами, заданными в координатной форме. Найдите координаты суммы векторов: (1, 2, -3), (0, -2, 5), (4, 0, -2)

3. Дайте определение скалярного произведения. Укажите физический смысл скалярного произведения двух векторов.

4. Основные свойства скалярного произведения. Распространяется ли скалярное произведение на три и больше число векторов?

5. Запишите скалярное произведение в координатной форме.

6. Найдите углы, образуемые вектором (4, 0, -3) с осями координат, т.е. с векторами (1,,0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1).

7. Условия коллинеарности и перпендикулярности векторов.

8. Дайте определение векторного произведения. Основные свойства. Векторное произведение в координатной форме.

9*. Доказать, что [ - , + ] =2 [ , ] и выяснить геометрический смысл этого тождества.

10*. Вектор [ , [ , ]] называется двойным вектором произведением заданных векторов. Доказать, что справедливо равенство [ , [ , ]] = (, ) - (, ).

11.* Доказать основное алгебраическое свойство смешанного произведения: циклическая перестановка векторов не меняет его величины, т.е.

[ , ] = [ , ] = [ , ]

[ , ] = , , . Что означает эта запись?

12. Виды задания прямой на плоскости.

13. Прямая l задана точкой M0 (x0, y0) и нормальным вектором (A, B).

1. написать уравнение прямой, привести его к общему виду.

2. привести общее уравнение к нормальному виду и указать расстояние от начала координат до прямой.

14. Прямая l задана точкой M0 (x0, y0) и направляющим вектором (m, n). Написать уравнение прямой, привести к общему виду..

15. Прямая l задана двумя своими точками M1 (x1, y1) и M2 (x2, y2). Написать уравнение прямой.

16. Заданы прямая l и точка M. Требуется:

1. вычислить расстояние от точки M до прямой.

2. написать уравнение прямой l1, проходящей через точку М перпендикулярно прямой l.

3. написать уравнение прямой l1, проходящей через точку М параллельно заданной прямой l.

17. Виды задания прямой в пространстве.

18. Написать уравнение плоскости Р, проходящей через точки M0(x0, y0, z0) и
M1(x1, y1, z1) параллельно вектору (x, y, z).

19. Прямая l задана общим уравнениями

Написать каноническое уравнение этой прямой.

20. Заданы плоскость Р и точка М0. Написать уравнение плоскости Р1, проходящей через точку М0, параллельно плоскости Р. (P: Ax + By + Cz + D= 0; M0 (x0, y0, z0)).

21. Доказать что прямые

l1: и l2: (x + 7)/3 = (y - 5)/-1 = (z - 9)/4

параллельны.

22. Написать уравнение гиперболы с полуосями a и b и центром в точке С(x0, y0), если известно, что ее действительная и мнимая оси параллельны осям Ox и Oy соответственно.

23. Из фокуса параболы y²=12x под острым углом a к оси OX направлен луч света, причем tg a = 3/4. Написать уравнение прямой, на которой лежит луч, отраженный от параболы.

24. Вывести уравнение прямой в полярной системе координат, если:

a) прямая проходит через полюс;

б) прямая не проходить через полюс.

25. Показать, что параметрические уравнения x = a cos t y = a sin t t Î [0.2p], определяют окружность x² + a² = a².

26. Основные типы поверхности второго порядка.

27. Приведение поверхностей второго порядка к каноническому виду.

Ответы к контрольному заданию

1. 2( + )

2. (-2, 0, 2)

3. 4 + 3 + 4

4. , cos a = 1/ , cos b = -4/ , cos c= -7/

5. 1. 2x + y = 0 2. x - 2y = z = 0

6. пересекает.

7. 7y² + 24xy - 144 = 0

8. y = 1/8x² - x + 3

9. r = a cos j

10. a) плоскость z = -5║xOy

б) сфера. R = 4 O (2, 0, -1)

в) пустое множество

г) пара пересекающихся плоскостей.

Ответы

3. Пусть под действием некоторой постоянной во величине и направлению силы F материальная точка сместилась прямолинейно по вектору АО = а, то угол между этими векторами a, тогда

работа A = = ½ ½½ ½cos a=½ ½ . Если d = 0.

Следовательно направление силы совпадает с направлением перемещения, т.е.
A =| || |.

11. [ , ] = , , (результат не зависит от того, как расставить квадратичные скобки в правой части. Это вытекает из основного алгебраического свойства смешанного произведения).

18. Указание. (x1 - x0, y1 - y0, z1 - z0) и (x₃y₃z₃) неколлинеарны.

В качестве нормального вектора к плоскости можно взять = [ , ]. Или можно иначе: использовать условие компланарности трех векторов , , .

19. Указание. В качестве направляющего вектора можно взять = [ , ], точку М найти из системы.

22.

23, y - 18 = 0

24. a) k = tg j б) r = P/cos(j - a)

указание

25. Использовать нормальное уравнение прямой x cos a + y cos b - P = 0.

Учитывать, что cos b = sin a.

Литература

1. Беклеминов Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - М.: Наука, 1990.

2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. - М.: Наука, 1990.

3. Клетеник Д.В. сборник задач по аналитической геометрии. - М.: Наука, 1975.