Задачи для самостоятельного решения. 1. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М0 (2, -3, 1) и перпендикулярной вектору (5

1. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М₀ (2, -3, 1) и перпендикулярной вектору (5, 0, 4).

2. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось Оy и точку (2, -1, 3). Найти углы, образуемые её нормалью с осями координат.

3. Найти угол между плоскостями 3x - 3y - z + 1 = 0 и x + 2y - 3z + 4 = 0

4. Указать взаимное расположение прямых

(x - 1)/1 = (y + 5)/(-2) = z/3 и (x + 3)/(-2) = y/4 = (z - 1)/(-6)

5. Найти угол между прямой и плоскостью x - 2y - z + 4 = 0.

6. Привести к каноническому виду уравнение прямой .

7. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(4,-3,1) и параллельной прямым: x/6 = y/2 = z/(-3) и (x + 1)/5 = (y - 3)/4 = (z - 4)/2.

8. Написать уравнение плоскости, которая проходит через точку (3,1,-2) и через прямую (x - 4)/5 = (y + 3)/2 = z/1.

9. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки А(2, 0, -1) и В(1, -1, 3) перпендикулярно плоскости 3x + 2y - z + 5 = 0

10. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку М(3,-1,-5), перпендикулярно плоскостям 3x - 2y + 2z + 7 = 0 и 5x - 4y + 3z + 1 = 0.

Вопросы для самопроверки

1. Записать общее уравнение плоскости. Что означают коэффициенты А, В, С, при x,y,z?

2. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку М(x₀,y₀,z₀) с вектором нормали (A,B,C) в векторной и координатной формах.

3. Написать каноническое уравнение плоскости.

4. Пусть прямая задана в виде (x - x₀)/m = (y - y₀)/n = (z - z₀)/p.

При m = 0 Þ (x - x₀)/m = (y - y₀)/o = (z - z₀)/p. Какую прямую определяет эта система уравнений?

5. Как расположена в пространстве прямая x/1 = y/1 = z/0?

6. Каноническое уравнение прямой: (x - x₀)/0 = (y - y₀)/0 = (z - z₀)/p.

Какая прямая определяется этой системой уравнений?

7. Какому условию должны удовлетворять коэффициенты в уравнениях прямой

чтобы прямая: 1) была параллельна Оx

2) лежала в плоскости Oxz

3) была бы параллельна плоскости Oyz

8. Указать особенности в расположении следующих прямых:

а) б)

9. Написать уравнение плоскости, параллельной плоскости Oxz и проходящей через точку (2, -5, 3).

10. Проверить, можно ли провести плоскость через следующие четыре точки:

(3,1,0); (0,7,2); (-1,0,-5); (4,1,5)

Ответы к 6.11.2

1. 5x - 4z – 6 = 0

2. 3x - 2z = 0; , cosb = 0,

3.

4. Прямые параллельны

5.

6. x/9 = y/5 = z + 3/1

7. 16x - 27y + 14z - 159 = 0

8. 8x - 9y - 22z - 59 = 0

9. Указание. В качестве нормального вектора искомой плоскости можно взять вектор, перпендикулярный вектору (-1,-1,4) и нормальному (3,2,-1) данной плоскости. Поэтому за примем векторное произведение и :

= [ , ] = 11i - 7j - 2k

Далее, воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через точку, перпендикулярно вектору (6.1.).

Ответ: 7x - 11y - z - 15 = 0.

10. Указание. В качестве нормального вектора искомой плоскости можно взять векторное произведение нормальных векторов данных плоскостей, далее см. пример9.

Ответ: 2x + y - 2z - 15 = 0

Ответы к 6.11.3

1. А, В, С при x, y, z в уравнении Ax + By + Cz + D = 0 есть координаты нормального вектор (A,B,C), перпендикулярного к данной плоскости.

2. Ax + By + Cz + D = 0; = - Þ (,( - )) = 0

4. Эта система определяет прямую, перпендикулярную к оси Оx. Прямая лежит в плоскости x = x₀, и поэтому для всех её точек будет x - x₀ = 0.

5. Эта прямая проходит через начало координат.

6. Прямая параллельна оси Оz.

7. 1) А = 0; А₁ = 0

2) А/А₁ = С/С₁ = D/D₁

3) В/В₁ = С/С₁

8. а) Прямая проходит через начало координат.

б) совпадает с осью Оy.

9. y + 5 = 0.

10. Указание. Если четыре точки (x₁, y₁, z₁), (x₂,y₂,z₂), (x₃,y₃,z₃), (x₄,y₄,z₄) лежат в одной плоскости, то вычисляется соотношение:

Нельзя.