Построение общего решения однородного дифференциального уравнения в случае кратных корней характеристического уравнения

Напомним сначала, что корень характеристического многочлена называется корнем кратности если

Полезно заметить, что если полином имеет различных корней ( – степень многочлена ), то все они имеют кратность Однократные корни называют еще простыми корнями .

Записав для многочлена формулу Тейлора

(остаточный член его равен тождественно нулю), получим с учетом равенств (6), что если – корень кратности , то представляется в виде

где – многочлен степени такой, что Очевидно, верно и обратное: если представляется в виде (7), где то --- корень кратности многочлена

Построению фундаментальной системы решений в случае кратных корней характеристического уравнения предпошлем несколько вспомогательных утверждений.

Если – дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами то имеет место формула

Действительно, по (2) имеем Дифференцируя это тождество по и учитывая, что операторы и перестановочны при применении их к бесконечно дифференцируемой по и функции , будем иметь

Таким образом, справедливо тождество (8).

Пусть – корень кратности характеристического многочлена уравнения (21.26) с постоянными коэффициентами Тогда функций

линейно независимы на любом отрезке и являются решениями уравнения (1).

Доказательство. Пусть – любое натуральное число, удовлетворяющее неравенству . Согласно имеет место тождество

где (см. ). Имеем

Полагая в последнем тождестве , будем иметь

Это означает, что функции (9) являются решениями уравнения (1). Эти функции линейно независимы на любом отрезке (см. утверждение предыдущей лекции). Свойство доказано.

Если – комплексный корень кратности уравнения с постоянными и действительными коэффициентами , то отделяя в (9) действительные и мнимые части, получаем линейно независимых действительных решений

Из этого факта и предыдущих утверждений вытекает следующий алгоритм построения фундаментальной системы решений однородного уравнения (1) с постоянными и действительными коэффициентами .