Алгоритм 1

1) По уравнению (1) составляем характеристическое уравнение , заменив в (1) производные на степени ().

2) Найдем корни характеристического уравнения и установим их кратности.

3) Каждому действительному корню кратности поставим в соответствие линейно независимых решений

4) Каждой паре комплексно-сопряженных корней кратности сопоставим линейно независимых решений

5) Объединим все полученные линейно независимые решения. Получим фундаментальную систему решений уравнения (1), состоящую из функций ( – порядок уравнения (1)).

Общее решение уравнения (1) имеет вид

где – построенная в алгоритме 1 фундаментальная система решений, а --- произвольные постоянные.

Пример 2. Найти общее решение уравнения

Решение. Составляем характеристическое уравнение , находим его корни и устанавливаем их кратности:

Согласно алгоритму 1 выписываем линейно независимые решения, отвечающие каждому корню:

Следовательно, общее решение исходного уравнения имеет вид