Основные математические понятия

Совокупность некоторых объектов (элементов) называют множеством. Пишут ( принадлежит ), если элемент множества; означает, что не принадлежит множеству . Два множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом . Если некоторое свойство, то через будем обозначать множество, элементами которого являются в точности все объекты, обладающие свойством . Например, пусть и множества. Тогда по определению:

объединение и ;

пересечение и ;

разность и .

Множество называется подмножеством множества , если каждый элемент множества является элементом множества .

Упорядоченный набор из элементов называется кой (или кортежем)и обозначается . По определению равна , если и . Если > 1, непустые множества, то декартовым произведением их назовём множество

которое обозначается через В частности,
( раз) обозначается через и называется декартовой степенью множества .

Подмножество множества называют местной функцией, заданной на со значениями во множестве , если из того, что и , следует, что (условие однозначности). Вместо пишут и говорят, что значение от определено (символически ) и равно . Множество

называется областью определения функции , а

называют областью значений .

Если , то функцию называют всюду определённой на , в противном случае - частичной. Если - одноместная всюду определённая на функция со значениями в , то называют отображением в и пишут Отображение в называют -местной операцией, заданной на множестве .

Пусть дано Тогда отображение называют разнозначным (инъективным), если влечёт , отображением на (сюрьективным), если , и взаимнооднозначным (биективным),если оно одновременно инъективно и сюрьективно.

Если -местная операция на , , причём для всех то называют замкнутым относительно .