Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Смешанным произведением трех векторов называется скалярное произведение векторного произведения векторов и вектора , т.е.
.
Смешанное произведение векторов , , определяется формулой:
.
Теорема. | Смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на векторах , и , приведенных к общему началу, т.е. |
.
Замечание. Если векторы и компланарны, то приведя их к общему началу, на них нельзя построить параллелепипед.
Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения: .
Пример 5.1. Показать, что векторы , , являются компланарными.
Решение. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является соотношение , т.е. определитель третьего порядка, составленный из координат векторов и должен равняться нулю. Проверим это:
.
Определитель равен нулю, т.е. векторы являются компланарными.
Пример 5.2. В пространстве даны четыре точки: , , , . Найти объем тетраэдра .
Решение.
Как известно из элементарной геометрии, объем тетраэдра равен одной шестой объема параллелепипеда, построенного на векторах , и . Отсюда заключаем, что равняется одной шестой абсолютной величины смешанного произведения .
Прежде чем подсчитать смешанное произведение, найдем координаты векторов , и :
, , .
Тогда
.
Таким образом, объем тетраэдра равен 3 куб.ед.
III. П р о в е р оч н ы й т е с т |
1. Какая из матриц является транспонированной по отношению к данной матрице ?
а) ; | б) ; | в) ; | г) . |
2. Какая из данных матриц является диагональной?
а) ; | б) ; | в) ; | г) . |
3. Какая из представленных матриц является единичной?
а) ; | б) ; | в) ; | г) . |
4. Для каких из представленных матриц определена операция умножения?
а) ; | б) ; |
в) ; | г) . |
5. Какой будет размерность матрицы С, полученной в результате умножения матриц А размерностью (5 6), и В размерностью (6 4)?
а) (5 6); б) (6 4); в) (6 6); г) (5 4).
6. Какая из приведенных матриц является суммой матриц и ?
а) ; | б) ; | в) ; | г) . |
7. Какая матрица получится в результате умножения матрицы на число 4?
а) ; | б) ; | в) ; | г) . |
8. Какая из представленных матриц является произведением матриц и ?
а) ; | б) ; | в) ; | г) . |
9. Не вычисляя, ответьте, какое из перечисленных ниже равенств является верным?
а) | ; |
б) | ; |
в) | ; |
г) | . |
10. Пусть . Какое из перечисленных ниже равенств не является верным?
а) ; | б) ; |
в) ; | г) . |
11. Не вычисляя, указать какой из определителей не равен нулю
а) ; | б) ; | в) ; | г) . |
12. В каком случае значение определителя не изменится?
а) если поменять местами две строки;
б) если поменять местами все строки и столбцы;
в) если поменять местами два столбца;
г) если один из столбцов умножить на (– 2).
13. Какое из перечисленных ниже равенств не является верным?
а) ; | б) ; |
в) ; | г) . |
14. Определить ранг матрицы .
а) 4 | б) 3 | в) 2 | г) 1 |
15. Даны два вектора , . Каковы будут координаты вектора ?
а) | б) | в) | г) |
16. Какой из представленных векторов является коллинеарным вектору ?
а) | б) | в) | г) |
17. Какой из векторов образует с вектором угол в 90о?
а) | б) | в) | г) |
18. Определить длину вектора , если и .
а) | б) | в) | г) |
19. Какая из представленных точек является симметричной точке (2; 3) относительно оси абсцисс?
а) | б) | в) | г) |
20. Какая из представленных точек является симметричной точке относительно оси ординат?
а) | б) | в) | г) |
21. Какая из представленных точек является симметричной точке относительно начала координат?
а) | б) | в) | г) |
22. Найдите проекцию вектора на ось абсцисс, если , .
а) – 3 | б) 0 | в) 3 | г) |
23. Найдите угол между векторами и , если , .
а) 45о | б) | в) | г) |
24. Даны векторы , , , . Какое из приведенных ниже равенств не является верным?
а) | б) |
в) | г) |
25. Какая из приведенных ниже формул верна
а) | б) |
в) | г) |
26. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , который удовлетворяет следующим условиям…
Продолжите предложение, указав какое из приведенных ниже положений лишнее
а) | длина вектора равна произведению длин векторов и на синус угла между ними: |
б) | вектор перпендикулярен векторам и |
в) | вектор ни при каких значениях векторов и не должен обращаться в ноль |
г) | вектор направлен таким образом, что кратчайший поворот от к виде из его конца совершающимся против часовой стрелки. |
27. На плоскости даны точки , , . В начале координат приложены силы и . Найти равнодействующую сил .
а) | б) | в) | г) |
28. Какая из представленных ниже формул не верна для нахождения площади треугольника, построенном на векторах и ( – угол между векторами).
а) | б) | в) | г) |
29. Найти скалярное произведение единичных векторов и , которые образуют между собой угол в 60о.
а) 1 | б) | в) | г) 2 |
30. Найдите направляющие косинусы вектора
а) | б) | в) | г) |
31. При каком значении векторы , , являются компланарными?
а) – 2 | б) | в) 4 | г) – 1 |
Ответы и указания к тесту смотрите на стр. 78
IV и н д и в и д у а л ь н ы е з а д а н и я |
ВАРИАНТ 1
1. Даны три матрицы , , . Найти: а) ; б) ; в) ранг матрицы .
2. Дана матрица . Найти: а) тремя способами определитель матрицы ; б) матрицу, обратную данной , и сделать проверку.
3. Показать совместность системы, найти ее решение методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы, и сделать проверку
.
4. Даны векторы , При каком значении эти векторы перпендикулярны?
5. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .
Дата публикования: 2014-11-04; Прочитано: 576 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!