Смешанное произведение 1 страница

Смешанным произведением трех векторов называется скалярное произведение векторного произведения векторов и вектора , т.е.

.

Смешанное произведение векторов , , определяется формулой:

.

Теорема.

Смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на векторах , и , приведенных к общему началу, т.е.

.

Замечание. Если векторы и компланарны, то приведя их к общему началу, на них нельзя построить параллелепипед.

Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения: .

Пример 5.1. Показать, что векторы , , являются компланарными.

Решение. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является соотношение , т.е. определитель третьего порядка, составленный из координат векторов и должен равняться нулю. Проверим это:

.

Определитель равен нулю, т.е. векторы являются компланарными.

Пример 5.2. В пространстве даны четыре точки: , , , . Найти объем тетраэдра .

Решение.

Как известно из элементарной геометрии, объем тетраэдра равен одной шестой объема параллелепипеда, построенного на векторах , и . Отсюда заключаем, что равняется одной шестой абсолютной величины смешанного произведения .

Прежде чем подсчитать смешанное произведение, найдем координаты векторов , и :

, , .

Тогда

.

Таким образом, объем тетраэдра равен 3 куб.ед.

III. П р о в е р оч н ы й т е с т

1. Какая из матриц является транспонированной по отношению к данной матрице ?

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

2. Какая из данных матриц является диагональной?

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

3. Какая из представленных матриц является единичной?

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

4. Для каких из представленных матриц определена операция умножения?

а) ;	б) ;
в) ;	г) .

5. Какой будет размерность матрицы С, полученной в результате умножения матриц А размерностью (5 6), и В размерностью (6 4)?

а) (5 6); б) (6 4); в) (6 6); г) (5 4).

6. Какая из приведенных матриц является суммой матриц и ?

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

7. Какая матрица получится в результате умножения матрицы на число 4?

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

8. Какая из представленных матриц является произведением матриц и ?

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

9. Не вычисляя, ответьте, какое из перечисленных ниже равенств является верным?

а)	;
б)	;
в)	;
г)	.

10. Пусть . Какое из перечисленных ниже равенств не является верным?

а) ;	б) ;
в) ;	г) .

11. Не вычисляя, указать какой из определителей не равен нулю

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

12. В каком случае значение определителя не изменится?

а) если поменять местами две строки;

б) если поменять местами все строки и столбцы;

в) если поменять местами два столбца;

г) если один из столбцов умножить на (– 2).

13. Какое из перечисленных ниже равенств не является верным?

а) ;	б) ;
в) ;	г) .

14. Определить ранг матрицы .

а) 4

б) 3

в) 2

г) 1

15. Даны два вектора , . Каковы будут координаты вектора ?

а)

б)

в)

г)

16. Какой из представленных векторов является коллинеарным вектору ?

а)

б)

в)

г)

17. Какой из векторов образует с вектором угол в 90^о?

а)

б)

в)

г)

18. Определить длину вектора , если и .

а)

б)

в)

г)

19. Какая из представленных точек является симметричной точке (2; 3) относительно оси абсцисс?

а)

б)

в)

г)

20. Какая из представленных точек является симметричной точке относительно оси ординат?

а)

б)

в)

г)

21. Какая из представленных точек является симметричной точке относительно начала координат?

а)

б)

в)

г)

22. Найдите проекцию вектора на ось абсцисс, если , .

а) – 3

б) 0

в) 3

г)

23. Найдите угол между векторами и , если , .

а) 45о

б)

в)

г)

24. Даны векторы , , , . Какое из приведенных ниже равенств не является верным?

а)	б)
в)	г)

25. Какая из приведенных ниже формул верна

а)	б)
в)	г)

26. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , который удовлетворяет следующим условиям…

Продолжите предложение, указав какое из приведенных ниже положений лишнее

а)	длина вектора равна произведению длин векторов и на синус угла между ними:
б)	вектор перпендикулярен векторам и
в)	вектор ни при каких значениях векторов и не должен обращаться в ноль
г)	вектор направлен таким образом, что кратчайший поворот от к виде из его конца совершающимся против часовой стрелки.

27. На плоскости даны точки , , . В начале координат приложены силы и . Найти равнодействующую сил .

а)

б)

в)

г)

28. Какая из представленных ниже формул не верна для нахождения площади треугольника, построенном на векторах и ( – угол между векторами).

а)

б)

в)

г)

29. Найти скалярное произведение единичных векторов и , которые образуют между собой угол в 60^о.

а) 1

б)

в)

г) 2

30. Найдите направляющие косинусы вектора

а)

б)

в)

г)

31. При каком значении векторы , , являются компланарными?

а) – 2

б)

в) 4

г) – 1

Ответы и указания к тесту смотрите на стр. 78

IV и н д и в и д у а л ь н ы е з а д а н и я

ВАРИАНТ 1

1. Даны три матрицы , , . Найти: а) ; б) ; в) ранг матрицы .

2. Дана матрица . Найти: а) тремя способами определитель матрицы ; б) матрицу, обратную данной , и сделать проверку.

3. Показать совместность системы, найти ее решение методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы, и сделать проверку

.

4. Даны векторы , При каком значении эти векторы перпендикулярны?

5. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .