Свойства векторного произведения

1^о Векторное произведение на есть вектор, обратный векторному произведению на , т.е. .

2^о – сочетательный закон.

3^о ; – распределительный закон.

4^о Векторное произведение двух векторов обращается в ноль тогда и только тогда, когда эти векторы коллинеарны.

Замечание. В частности, равно нулю и векторное произведение одинаковых множителей, т.е. . Поэтому понятие векторного квадрата не употребляется.

5^о Если векторы и приведены к общему началу, то модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах, т.е. , а площадь треугольника, построенного на векторах и , равна половине площади параллелограмма, т.е. .

6^о Векторное произведение векторов и определяется формулой:

.

Пример 4.1. Найти вектор , если известно, что ; ; ; .

Решение. Упростим:

Пример 4.2. Даны векторы и . Найти координаты векторного произведения .

Решение.

.

Пример 4.3. Найти синус угла между векторами и .

Решение. Из определения векторного произведения

.

Выразив отсюда , получим:

.

Из примера 4.2. , тогда

;

, .

Таким образом,

.

Пример 4.4. В пространстве даны три точки , и . Найти площадь треугольника .

Решение. Рассмотрим векторы и . Согласно 5^о свойству векторного произведения, модуль векторного произведения , умноженный на равен площади треугольника, построенного на векторах и , т.е.

.

Найдем векторы и :

; .

Тогда

.

Таким образом,

.