Определение экстремума функции одной переменной. Необходимый признак экстремума (доказать)

Определение. Точка называется точкой максимума функции , если существует некоторое число такое, что для всех , удовлетворяющих условию , выполнено неравенство .

Максимум функции – это значение функции в точке максимума.

На рис 5 показан пример графика функции, имеющей максимумы в точках .

Определение. Точка называется точкой минимума функции , если существует некоторое число такое, что для всех , удовлетворяющих условию , выполнено неравенство . На рис 5 функция имеет минимум в точке .

Для максимумов и минимумов есть общее название – экстремумы. Соответственно точки максимума и точки минимума называются точками экстремума.

Очевидно, что функция, определенная на отрезке, может иметь максимум и минимум только в точках, находящихся внутри этого отрезка. Нельзя также путать максимум и минимум функции с ее наибольшим и наименьшим значением на отрезке – это понятия принципиально различные.

В точках экстремума у производной есть особые свойства.

Теорема (необходимое условие экстремума). Пусть в точке функция имеет экстремум. Тогда либо не существует, либо .

Доказательство. Предположим, что функция имеет в точке максимум.

Тогда при достаточно малых при любом знаке верно неравенство: , т.е. .

Тогда: и .

По определению производной в точке : (если такой предел существует). Т.е. если , но , то , а если , но , то . Возможно это только в тех случаях, если или если не существует. Теорема доказана.

Те точки из области определения функции, в которых не существует или в которых , называются критическими точками функции.

Таким образом, из только что доказанной теоремы следует, что точки экстремума лежат среди критических точек. В общем случае критическая точка не обязана быть точкой экстремума. Если производная функции в некоторой точке равна нулю, то это еще не значит, что в этой точке функция имеет экстремум.

Пример. Рассмотрим . Имеем , но точка не является точкой экстремума (см. рис 6).