![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Определение. Линейное пространство называется n-мерным, если в нем существует n линейно независимых векторов, а любые из
векторов уже являются зависимыми. Другими словами, размерность пространства – это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов. Число n называется размерностью пространства
и обозначается
.
Совокупность n линейно независимых векторов n-мерного пространства называется базисом.
7. Собственные векторы и собственные значения матрицы. Характеристическое уравнение матрицы.
Определение. Вектор называется собственным вектором линейного оператора
, если найдется такое число
, что:
Число называется собственным значением оператора
(матрицы А), соответствующим вектору
.
Можно записать в матричной форме:
, где
- матрица-столбец из координат вектора
, или в развернутом виде:
Перепишем систему так, чтобы в правых частях были нули:
или в матричном виде:
. Полученная однородная система всегда имеет нулевое решение. Для существования ненулевого решения необходимо и достаточно, чтобы определитель системы:
.
Определитель является многочленом n -й степени относительно
. Этот многочлен называется характеристическим многочленом оператора
или матрицы А, а полученное уравнение – характеристическим уравнением оператора
или матрицы А.
Пример:
Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного матрицей
.
Р е ш е н и е: Составляем характеристическое уравнение или
, откуда собственное значение линейного оператора
.
Находим собственный вектор , соответствующий собственному значению
. Для этого решаем матричное уравнение:
или
, или
, откуда находим:
, или
, или
.
Предположим, что , получим, что векторы
, при любом
являются собственными векторами линейного оператора
с собственным значением
.
Аналогично, вектор .
Система п линейных уравнений с п переменными (общий вид). Матричная форма записи такой системы. Решение системы (определение). Совместные и несовместные, определенные и неопределенные системы линейных уравнений.
Дата публикования: 2014-11-04; Прочитано: 644 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!