![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Для решения и исследования ряда математических и прикладных задач важное значение имеет понятие ранга матрицы.
В матрице размером
вычеркиванием каких-либо строк и столбцов можно вычленить квадратные подматрицы
-го порядка, где
. Определители таких подматриц называются минорами
-го порядка матрицы
.
Например, из матриц можно получить подматрицы 1, 2 и 3-го порядка.
Определение. Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы. Обозначение:
или
.
Из определения следует:
1) Ранг матрицы не превосходит меньшего из ее размеров, т.е.
.
2) тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю, т.е.
.
3) Для квадратной матрицы n-го порядка тогда и только тогда, когда матрица
- невырожденная.
Поскольку непосредственный перебор всех возможных миноров матрицы , начиная с наибольшего размера, затруднителен (трудоемок), то пользуются элементарными преобразованиями матрицы, сохраняющими ранг матрицы.
Элементарные преобразования матрицы:
1) Отбрасывание нулевой строки (столбца).
2) Умножение всех элементов строки (столбца) на число .
3) Изменение порядка строк (столбцов) матрицы.
4) Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число.
5) Транспонирование матрицы.
Определение. Матрица , полученная из матрицы
при помощи элементарных преобразований, называется эквивалентной и обозначается А
В.
Теорема. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.
С помощью элементарных преобразований можно привести матрицу к так называемому ступенчатому виду, когда вычисление ее ранга не представляет труда.
Матрица называется ступенчатой если она имеет вид:
, где
,
,
.
Очевидно, что ранг ступенчатой матрицы равен числу ненулевых строк , т.к. имеется минор
-го порядка, не равный нулю:
.
Пример. Определить ранг матрицы с помощью элементарных преобразований.
.
Ранг матрицы равен количеству ненулевых строк, т.е. .
Дата публикования: 2014-11-04; Прочитано: 702 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!