![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Экономизация ряда заключается в уменьшении числа арифметических операций при условии сохранения заданной точности вычисления функции. Данный приём использует свойство полиномов Чебышева сводить к минимуму максимальную ошибку приближения. Экономизация основывается на изменении структуры ряда в сторону увеличения сходимости, при этом в отдельных случаях удаётся уменьшить число членов ряда.
В нашем случае наибольшая погрешность возникает на правой границе интервала приближения функции, с другой стороны полиномы Чебышева действуют на интервале (-1, 1), поэтому вычисления будем производить для x=0,99.
Замечание. Если вычисление необходимо произвести на более широком интервале (a, b), то предварительно следует провести линейное преобразование системы координат, т.е. ввести новую переменную , которая принадлежит интервалу (-1, 1), а все вычисления производить для функции
.
Из формулы (2.65) и условий задачи оценим методическую погрешность, с которой необходимо вычислять функцию sin(x).
При x = 0,99 имеем .
Метод экономизации основывается на замене степенных функций xn разложениями по полиномам Чебышева, например, . Можно показать, что при таких заменах коэффициент при старшей степенной функции будет равен
, где an - коэффициент при старшей степенной функции в формуле Тейлора. Если для знакопеременного
степенного ряда , член
можно отбросить.
n | bn | Rn(x) |
0,25 | 0,1617165 | |
0,0416667 | 0,0400248 | |
0,0052083 | 0,0079249 | |
0,0005208 | 0,0013076 | |
4,34E-05 | 0,0001849 | |
3,1E-06 | 2,289E-05 | |
1,938E-07 | 2,517E-06 | |
1,076E-08 | 2,492E-07 |
Таблица 2.13
В табл. 2.13 верхние оценки остаточного члена в формуле Тейлора при x = 0,99 и коэффициентов при старших членах экономизированного ряда. Из таблицы видно, что для функции sin(x) экономизация возможна начиная с n = 5 на один член рада. В нашем случае при экономизация невозможна.
Тем не менее, покажем технику экономизации в тех случаях, если это возможно. Пусть n = 5. В этом случае при x = 0,99 .
Для , произведя замену
, после приведения подобных членов получим:
. Отбросив последний член ряда, имеем:
.
Степень последнего многочлена на два порядка меньше, чем в формуле Тейлора, и в то же время удовлетворяет заданной точности вычисления.
3. Тестирование в пакете MathCAD программ и алгоритмов, реализующих различные методы вычислений
Дата публикования: 2014-11-04; Прочитано: 1100 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!