Экономизация

Экономизация ряда заключается в уменьшении числа арифметических операций при условии сохранения заданной точности вычисления функции. Данный приём использует свойство полиномов Чебышева сводить к минимуму максимальную ошибку приближения. Экономизация основывается на изменении структуры ряда в сторону увеличения сходимости, при этом в отдельных случаях удаётся уменьшить число членов ряда.

В нашем случае наибольшая погрешность возникает на правой границе интервала приближения функции, с другой стороны полиномы Чебышева действуют на интервале (-1, 1), поэтому вычисления будем производить для x=0,99.

Замечание. Если вычисление необходимо произвести на более широком интервале (a, b), то предварительно следует провести линейное преобразование системы координат, т.е. ввести новую переменную , которая принадлежит интервалу (-1, 1), а все вычисления производить для функции .

Из формулы (2.65) и условий задачи оценим методическую погрешность, с которой необходимо вычислять функцию sin(x).

При x = 0,99 имеем .

Метод экономизации основывается на замене степенных функций xⁿ разложениями по полиномам Чебышева, например, . Можно показать, что при таких заменах коэффициент при старшей степенной функции будет равен , где a_n - коэффициент при старшей степенной функции в формуле Тейлора. Если для знакопеременного

степенного ряда , член можно отбросить.

Таблица 2.13
В табл. 2.13 верхние оценки остаточного члена в формуле Тейлора при x = 0,99 и коэффициентов при старших членах экономизированного ряда. Из таблицы видно, что для функции sin(x) экономизация возможна начиная с n = 5 на один член рада. В нашем случае при экономизация невозможна.

Тем не менее, покажем технику экономизации в тех случаях, если это возможно. Пусть n = 5. В этом случае при x = 0,99 .

Для , произведя замену , после приведения подобных членов получим: . Отбросив последний член ряда, имеем: .

Степень последнего многочлена на два порядка меньше, чем в формуле Тейлора, и в то же время удовлетворяет заданной точности вычисления.

3. Тестирование в пакете MathCAD программ и алгоритмов, реализующих различные методы вычислений