Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Метод Рунге-Кутта



Пусть требуется найти решение дифференциального уравнения y¢=f(x, y), удовлетворяющее начальному условию y(x0) = y0.

Численное решение задачи состоит в построении таблицы приближённых значений у1, у2,…,yn решения уравнения в точках x1, x2,..., xn. Точки x1, x2,..., xn – узлы сетки. Используем систему равноотстоящих узлов. Величина h – шаг сетки (h>0) [10].

Методом Рунге—Кутта в литературе обычно называют од­ношаговый метод четвертого порядка, относящийся к широкому классу методов типа Рунге—Кутта. В этом методе величины yi+1 вычисляют по следующим формулам:

(2.64)

Погрешность метода на одном шаге сетки равна Mh4, но на практике оце­нить величину М обычно трудно. При оценке погрешности используют пра­вило Рунге. Для этого проводят вычис­ления сначала с шагом h, а затем—с шагом h/2. Если уi(h) – приближение, вычисленное с шагом h, а у2i(h/2) – c шагом h/2, то справедлива оценка

За оценку погрешности вычислений с шагом h/2 можно принять величину

Метод Рунге—Кутта легко перено­сится на нормальные системы диф­ференциальных уравнений вида

, 1 £ k £ n,

которые для краткости удобно записы­вать в векторной форме:

y '(x)= f (x, y),

y = (y1, y2,…, yn), f = (fl,f2,…,fn).

Для получения расчетных формул ме­тодом Рунге—Кутта достаточно в фор­мулах (2.64) заменить у и f(x, у) соответ­ственно на у и f (x, у), а коэффициенты kj – на kj(j=l, 2, 3, 4).

Задание.

Решить задачу Коши для системы дифференциальных уравнений второго порядка. Результаты представить как и в предыдущей работе.





Дата публикования: 2014-11-04; Прочитано: 306 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.014 с)...