![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пусть требуется найти решение дифференциального уравнения y¢=f(x, y), удовлетворяющее начальному условию y(x0) = y0.
Численное решение задачи состоит в построении таблицы приближённых значений у1, у2,…,yn решения уравнения в точках x1, x2,..., xn. Точки x1, x2,..., xn – узлы сетки. Используем систему равноотстоящих узлов. Величина h – шаг сетки (h>0) [10].
Методом Рунге—Кутта в литературе обычно называют одношаговый метод четвертого порядка, относящийся к широкому классу методов типа Рунге—Кутта. В этом методе величины yi+1 вычисляют по следующим формулам:
(2.64)
Погрешность метода на одном шаге сетки равна Mh4, но на практике оценить величину М обычно трудно. При оценке погрешности используют правило Рунге. Для этого проводят вычисления сначала с шагом h, а затем—с шагом h/2. Если уi(h) – приближение, вычисленное с шагом h, а у2i(h/2) – c шагом h/2, то справедлива оценка
За оценку погрешности вычислений с шагом h/2 можно принять величину
Метод Рунге—Кутта легко переносится на нормальные системы дифференциальных уравнений вида
, 1 £ k £ n,
которые для краткости удобно записывать в векторной форме:
y '(x)= f (x, y),
y = (y1, y2,…, yn), f = (fl,f2,…,fn).
Для получения расчетных формул методом Рунге—Кутта достаточно в формулах (2.64) заменить у и f(x, у) соответственно на у и f (x, у), а коэффициенты kj – на kj(j=l, 2, 3, 4).
Задание.
Решить задачу Коши для системы дифференциальных уравнений второго порядка. Результаты представить как и в предыдущей работе.
Дата публикования: 2014-11-04; Прочитано: 320 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!