![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пусть требуется найти приближенное решение дифференциального уравнения y'=f(x,у), удовлетворяющее начальному условию у(х0)=у0. Численное решение задачи состоит в построении таблицы приближенных значений у1, у2,…,yn решения уравнения у(х) в точках x1, x2,..., xn. Чаще всего хi = x0+ih, i=1, 2,..., п. Точки xi называются узлами сетки, а величина h —шагом (h>0).
В методе Эйлера величины уi вычисляются по формуле
(2.62)
Этот метод относится к группе одношаговых методов, в которых для расчета точки (xi+1;.yi+1) требуется информация только о последней вычисленной точке (xi; yi). Метод допускает простую геометрическую интерпретацию (рис. 15). Предположим, что известна точка (хi; yi) на искомой интегральной кривой. Тогда касательная к этой кривой, проходящая через точку (хi; yi), определяется уравнением y=y'i(x - xi)+yi, а так как y'i =f(хi, yi)и xi+1 =xi+h, то yi+1 =yi+hf(xi, yi). Для оценки погрешности метода на одном шаге сетки разложим точное решение в ряд Тейлора в окрестности узла хi
Рис. 2.10
(2.63)
Сравнение формулы (2.62) с разложением (2.63) показывает, что они согласуются до членов первого порядка по h, а погрешность формулы (2.62) равна 0(h2). Если расчетные формулы численного метода согласуются с разложением в ряд Тейлора до членов порядка hp, то число р называют порядком метода. Таким образом, метод Эйлера—метод первого порядка [10].
Для практической оценки погрешности расчета можно рекомендовать правило Рунге. Для этого проведем вычисления с шагом h и h/2 и сравним величины уi(h) и уi(h/2). За оценку погрешности вычислений с шагом h/2 можно принять величину
.
Метод Эйлера легко обобщается на случай нормальных систем дифференциальных уравнений. Пусть требуется найти решение системы дифференциальных уравнений
удовлетворяющее начальным условиям y1(x0)= y10, y2(x0)= y20,…, yn(x0)= yn0. Или в векторной форме:
,
Y(x)={y1(x), y2(х),...,yn(x)}, Y0={y10, y20,…, yn0}. Приближенные значения уki точного решения yk(хi) в точках xi вычисляются по формулам
Задание:
Используя подпрограмму Eiler, составить программу решения задачи Коши yi¢=fi(x, y1, y2), yi|x=a = yi(a), i = 1, 2, на отрезке [a, b].
Дата публикования: 2014-11-04; Прочитано: 353 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!