![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Функция называется возрастающей (убывающей) на интервале
если из неравенства
где
следует неравенство
(соответственно
).
Если функция дифференцируема на интервале
и
при всех
то функция
возрастает на
; если же
при всех
то функция
убывает на
.
В простейших случаях область определения функции можно разбить на конечное число интервалов монотонности. Каждый из интервалов монотонности ограничен критическими точками, в которых производная функции обращается в нуль или не существует.
Если существует такой интервал что для всякой точки
из этого интервала выполняется неравенство
(или
), то точка
называется точкой минимума (максимума) функции
, а число
– минимумом (максимумом) этой функции. Точки минимума и максимума функции называются ее точками экстремума.
Необходимое условие экстремума функции. Если – точка экстремума функции
то
или
не существует, т.е.
– критическая точка этой функции.
Достаточные условия экстремума непрерывной функции.
1) Если функция дифференцируема в некоторой окрестности критической точки
за исключением, быть может, самой этой точки, и ее производная слева от этой точки положительная, а справа – отрицательная, то точка
является точкой максимума; если производная слева от точки
отрицательная, а справа – положительная, то точка
является точкой минимума; если производная слева и справа от точки
имеет одинаковый знак, то в этой точке функция экстремума не имеет.
2) Если в критической точке вторая производная отлична от нулю, то в этой точке функция
имеет максимум при
и минимум при
Пример.
Найти интервалы монотонности и точки экстремума для функции
Решение.
Находим производную и приравниваем ее нулю. Решая получившееся уравнение
получаем
Следовательно, критическими точками (с учетом тех точек, где производная не определена) являются:
Область определения
разбивается на два интервала монотонности:
и
Так как
при
и
при
то
убывает на интервале
и возрастает на интервале
а в точке
достигает минимума
Дата публикования: 2014-11-04; Прочитано: 436 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!