Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва

Под окрестностью точки будем понимать любой интервал, содержащий эту точку. Функция называется непрерывной в точке если она определена в некоторой ее окрестности и Если функция не определена в самой точке или не является непрерывной в точке то эта точка является точкой разрыва функции . При этом различают три случая:

а) существует, но не равен или не определено. В этом случае называют точкой устранимого разрыва функции .

б) Существуют и конечны оба односторонних предела и , которые не равны друг другу. В этом случае называют точкой разрыва 1-го рода функции а разность называют скачком функции в этой точке.

в) Хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности. В этом случае называют точкой разрыва 2-го рода функции .

Если функции и непрерывны в точке , то в этой точке непрерывны также функции:

1) , где и любые действительные числа,

2) ,

3) , если .

Примеры.

а) Найти точки разрыва функции и исследовать их характер.

Точка является точкой разрыва функции . Поскольку существует , то точка является точкой устранимого разрыва функции . График функции изображен на рис. 2. Если положить то получим функцию, непрерывную на всей числовой прямой.

б) Найти точки разрыва функции и исследовать их характер.

Точка является точкой разрыва функции . Для определения характера разрыва найдем пределы слева и справа в этой точке:

Следовательно, точка является точкой разрыва 1-го рода функции . График функции изображен на рис. 3.

в) Найти точки разрыва функции и исследовать их характер.

Точка является точкой разрыва функции . Для определения характера разрыва найдем пределы слева и справа в этой точке:

Следовательно, точка является точкой разрыва 2-го рода функции . График функции изображен на рис. 4.