Правило Лопиталя

Правило Лопиталя является одним из способов раскрытия неопределенностей и , возникающих при вычислении пределов и основано на следующей теореме.

Теорема. Пусть функции и дифференцируемы в некоторой окрестности точки , кроме, может быть, самой точки , и пусть в . Если функции и являются одновременно бесконечно малыми, либо бесконечно большими при и при этом существует предел отношения их производных, то также существует предел отношения самих функций, причем .

Примеры.

а) Найти предел

б) Найти предел

В некоторых случаях раскрытие неопределенностей или может потребовать неоднократного применения правила Лопиталя.

Пример.

Найти предел

С помощью правила Лопиталя можно раскрывать неопределенности типа и . Например, для вычисления где а (раскрытие неопределенности типа ), следует преобразовать произведение к виду (неопределенность типа ) или к виду (неопределенность типа ) и далее использовать правило Лопиталя.

Пример.

Найти предел

Для раскрытия неопределенностей типа нужно записать и найти предел , раскрыв неопределенность типа .

Пример.

Найти предел

Вычислим предел

Следовательно,