Свойства смешанного произведения векторов

Для любых векторов , и справедливо:

1) При перестановке местами двух множителей смешанное произведение меняет знак:

, ,

2) При циклической перестановке множителей смешанное произведение не меняется:

.

3) Если , , , то

.

4) , и компланарны, т.е. лежат в одной плоскости.

5) Абсолютная величина смешанного произведения векторов равна объему параллелепипеда, построенного на этих векторах

Объем пирамиды, построенный на тех же векторах в 6 раз меньше:

Таким образом, скалярное произведение используют для нахождения длин и углов, векторное произведение – для вычисления площадей, а смешанное – для нахождения объемов.

Пример 6. (Образец выполнения задачи 4 из контрольной работы). Даны вершины пирамиды: , , и

Найти:

a) длину ребра ;

b) угол между ребрами и ;

c) площадь грани ;

d) объем пирамиды.

Решение.

a) Найдем вектор , а затем его норму. Это и будет длина ребра . ,

b) Угол между ребрами и будем находить как угол между векторами и (рис. 3), используя формулу:

.

.

Следовательно,

c) , ,

, .

d) Возьмем три вектора, на которых построена пирамида, например, , и , и найдем их смешанное произведение:

Значит, n