![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Система векторов называется базисом пространства
, если любой вектор
может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов этой системы:
.
Числа называют коэффициентами разложения вектора
по базису
.
В пространстве примером базиса может служить система единичных ортов:
. Данный базис принято называть естественным, т.к. коэффициентами разложения любого вектора
по базису
являются координаты этого вектора. Например,
.
В пространстве естественный базис образует система векторов
.
Теорема 5. Если система векторов образуют базис в , то она линейно независима.
Теорема 6. Любые линейно независимых векторов пространства
образуют в нем базис.
Пример 3. (Образец решения задачи 3 из контрольной работы). Даны векторы ,
,
. Определить образуют ли векторы
,
и
базис в пространстве
и если да, то разложить вектор
по этому базису.
Решение. Составим определитель из векторов ,
и
:
Т.к. , то система
- линейно независима и по теореме 12 образует базис в пространстве
. Значит, вектор
может быть единственным образом представлен в виде:
с пока неизвестными коэффициентами Переходя от равенства векторов к равенству их соответствующих координат приходим к системе линейных уравнений:
,
откуда:
.
Решая эту систему, например, методом Крамера (сделайте это самостоятельно), получим:
,
. Следовательно,
.n
Дата публикования: 2014-11-04; Прочитано: 620 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!