Умножение и свертка

Добавим теперь два важных соотношения, представляющих теорему умножения:

(2.29)

(фурье-преобразование произведения двух функций является сверткой их фурье-преобразований) и теорему свертки:

(2.30)

(фурье-преобразование свертки двух функций является произве­дением их фурье-преобразований).

Здесь мы следуем обычным обозначениям: функции в реальном пространстве будем писать строчными буквами, а фурье-преобразования — соответствующими прописными буквами.

Эти теоремы опять-таки легко доказать с помощью манипуля­ций, в общем нестрогих, но для тех функций, с которыми мы будем работать, вполне корректных. Например, для вывода теоремы свертки (2.30) подставим х — X = у в левую часть интегральной формы и получим: