Свертки

В одном измерении интеграл свертки двух функций f(х) и g(х) определяется как:

(2.4)

Путем простой замены переменных находим:

(2.5)

Для двух или более измерений можно воспользоваться векторной формой:

(2.6)

Тождественной операцией является свертка с дельта-функцией Дирака:

(2.7)

Пример свертки дает принцип Гюйгенса, записанный в виде формул Кирхгофа. Каждая точка фронта волны рассматривается как источник сферической волны, начальная амплитуда которой пропорциональна амплитуде падающей волны, Затем амплитуды вторичных волн складываются и дают амплитуду в плоскости наблюдения. Таким образом, функция амплитуды g(x, у) на начальном фронте волны рассеивается с помощью функции, которая представляет вторичную сферическую волну от точечного источника на фронте волны.

Для дифракции Френеля в малоугловом приближении записать:

(2.10)

Функцию в квадратных скобках можно назвать функцией распространения, или волновой функцией точечного источника, q(х, у) =d(х, у).