Свойства фурье-преобразований

Если не использовать комплексную экспоненту, то выражение (2.12)

можно переписать следующим образом:

(2.16)

Если функция f(х) — действительная четная функция, так что f(-x) = f(x), второй интеграл дает нуль, и имеем:

(2.17)

F(u) — действительная функция. Если же f(х) — действительная нечетная функция, т.е. f(-x) = - f(x), тогда первый интеграл будет давать нуль, и получаем:

(2.18)

Функция F(u) будет чисто мнимой.

Поскольку любую действительную функцию можно представить как сумму четной и нечетной функций:

(2.19)

то можно записать:

где А(u) и В(u) — действительные функции, которые задаются выражениями:

(2.20)

Именно эти интегралы, содержащие синусы и косинусы, протабулированы в значительной мере в таблицах интегралов Фурье, приведенных, например, в справочниках Эрдейли и Снеддона.

Для любой, действительной или комплексной, функции f(x) запишем следующие общие соотношения:

Реальное пространство Пространство Фурье

(2.21)

(2.22)

(2.23)

(2.24)

(2.25)

(2.26)

(2.27)

(2.28)

Эти соотношения легко доказать, записав соответствующие интегралы. Например, для выражения (2.24):

Для (2.26):

Для (2.27):

поскольку:

Соотношение (2.28) получается повторением вывода (2.27).