Частотная форма представления сигнала

Любой физически реализуемый сигнал ограничен во времени и обладает конечной энергией. Функции, отображающие реальные сигналы, удовлетворяют условиям Дирихле и абсолютно интегрируемы, т. е.

(1.40)

где М — конечная величина.

Модели таких сигналов также могут быть представлены совокупностью гармонических составляющих в соответствии с выражением (1.2). Конкретный вид спектрального преобразования для непериодического сигнала получим, проследив изменения, происходящие в спектре периодической последовательности импульсов ii\(f) при увеличении периода их повторения.

Пару преобразований Фурье для периодической функции u₁(t) запишем в форме (1.15) и (1.16):

При Т® ¥ u₁(t) переходит в u(t), частота w₁ уменьшается до dw, a kw₁ превращается в текущую частоту w. Заменяя суммирование интегрированием, находим

Обозначив интеграл в квадратных скобках S(jw), получим формулы для прямого и обратного интегрального преобразования Фурье:

(1.41-1.42)

Величину S(jw) называют комплексной спектральной плотностью или спектральной характеристикой. Она имеет размерность [амплитуда/частота]. На каждой конкретнойчастоте амплитуда соответствующей составляющей равна нулю. Сравнивая (1.15) и (1.42), находим, что бесконечно малому интервалу частоты dw соответствует составляю­щая с бесконечно малой комплексной амплитудой dA(jw):

(1,43)

Сравнение выражения (1.41) для спектральной характеристики функции u(t), с формулой (1.17) для огибающей комплексного спектра такой же функции, периодически продолжающейся во времени, показывает, что они различаются только множителем:

(1.44)

Поэтому по известной спектральной характеристике одиночного импульса легко построить линейчатый спектр их периодической последовательности. Соотношением (1.44) объясняется и тот факт, что для различных представлений спектральной характеристики имеют место формулы, весьма похожие на (1.18) — (1.24).

Как комплексная величина спектральная характеристика может быть записана в виде

(1.45)

где S(w) = |S(jw)| называется спектральной плотностью амплитуд или спектром непериодического сигнала.

Так как составляющие расположены на всех частотах, то спектр непериодического сигнала является непрерывным или сплошным. Представим спектральную характеристику состоящей из действительной и мнимой частей:

(1.46)

где

(1.47 - 1-48)

Модуль спектральной характеристики S(w) определяется выражением

(1.49)

и представляет собой четную функцию частоты.

Для фазы спектральной характеристики S(w) соответ­ственно получаем

(1.50)

Так как из (1.42) и (1.43) следует, что A(w) — четная функция частоты, а В(w) — нечетная, то функция j(w) относительно частоты нечетна.

Комплексная форма интегрального преобразования Фурье легко приводится к тригонометрической:

Второй член в связи с нечетностью подынтегрального выражения равен нулю. Окончательно имеем

(1.51)

Преимущество тригонометрической формы записи Фурье-преобразования заключается в возможности некоторого физического толкования с использованием идеализации, не очень далеких от реальности.