XIII. ТЕОРИЯ ПОЛЯ. Научный редактор – проф., доктор физ

Учебное пособие

Научный редактор – проф., доктор физ. - мат. наук А.Б. Соболев

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Екатеринбург

УДК 511.236(075.8)

ББК 22.132 я 73

Т 11

Рецензенты:

кафедра физики Уральского государственного лесотехнического университета;

доктор физ-мат. наук, проф. А.П. Танкеев, зав. лабораторией ИФМ УрО РАН

Авторы: М.А. Вигура, О.А. Кеда, Е.М. Пампура, А.Ф. Рыбалко, Н.М. Рыбалко

Т 11 XIII. ТЕОРИЯ ПОЛЯ: учебное пособие / М.А. Вигура,

О.А. Кеда, Е.М. Пампура, А.Ф. Рыбалко, Н.М. Рыбалко. Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ-УПИ, 2005. 68 с.

ISBN 5-321-00633-4

Учебное пособие посвящено изложению элементов теории поля – разделу физики, механики, математики, в которых изучаются скалярные и векторные поля. Содержит изложение теории, решение типичных задач, задания для самостоятельной работы и формулы этого раздела.

Рекомендовано Уральским отделением учебно-методического объединения

вузов РФ в области строительного образования в качестве учебного пособия для студентов специальностей направления 6533500 «Строительство» всех форм обучения

Подготовлено кафедрой высшей математики

УДК 511.236(075.8)

ББК 22.132 я 73

ISBN 5-321-00633-4 © ГОУ ВПО «Уральский государственный

технический университет – УПИ», 2005

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ (ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА) 6

1.1. Скалярное поле........................................................................................ 6

1.2.Поверхности и линии уровня................................................................... 6

1.3.Производная по направлению.................................................................. 7

1.4.Градиент скалярного поля........................................................................ 8

1.4.1. Оператор Гамильтона (набла).......................................................... 8

1.4.2. Связь производной по направлению с градиентом......................... 9

1.4.3. Свойства градиента........................................................................... 9

1.2.Векторное поле............................................................................... 11

1.5.1. Векторные линии............................................................................. 12

1.5.2. Плоское векторное поле.................................................................. 13

2.ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ............................................................. 13

2.1.Односторонние и двусторонние поверхности....................................... 13

2.2.Площадь поверхности............................................................................ 14

2.3.Система координат ориентация поверхности....................................... 16

2.4.Поверхностный интеграл 1-го рода....................................................... 16

2.4.1. Вычисление поверхностных интегралов 1-го рода....................... 16

2.5. Поверхностный интеграл 2-го рода...................................................... 18

3. ПОТОК ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ.................................................................... 20

3.1. Определение потока векторного поля................................................... 20

3.2.Свойства потока...................................................................................... 20

3.3.Вычисление потока................................................................................. 21

3.3.1. Проектирование на одну координатную плоскость...................... 21

3.3.2. Проектирование на три координатные плоскости......................... 21

3.4. Физический смысл потока...................................................................... 23

3.5.Дивергенция векторного поля................................................................ 25

3.5.1. Свойства дивергенции..................................................................... 25

3.5.2. Физический смысл дивергенции..................................................... 26

3.6.Физический смысл потока через замкнутую поверхность.................... 26

3.7.Теотема Остроградского - Гаусса.......................................................... 27

3.8.Инвариантное определение дивергенциии............................................. 30

4. Линейный интеграл в векторном поле......................................................... 30

4.1. Понятие линейного интеграла............................................................... 30

4.2. Свойства линейного интеграла.............................................................. 31

4.3. Вычисление линейного интеграла......................................................... 31

4.4. Физический смысл линейного интеграла.............................................. 32

4.5. Ротор (вихрь) векторного поля............................................................. 32

4.6. Свойства ротора (вихря)....................................................................... 33

4.7.Теорема Стокса....................................................................................... 34

4.8. Инвариантное определение ротора....................................................... 36

4.9. Физический смысл ротора..................................................................... 37

4.10.Формула Грина..................................................................................... 38

5. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВИДЫ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ...................................... 39

5.1. Потенциальное векторное поле............................................................. 39

5.1.1. Условия потенциальности поля...................................................... 39

5.1.2. Вычисление потенциала поля......................................................... 41

5.2.Соленоидальное поле.............................................................................. 42

5.2.1. Свойства соленоидального поля.................................................. 42

5.3.Операторы Гамильтона и Лапласа......................................................... 43

5.3.1. Оператор Гамильтона (набла)........................................................ 43

5.3.2. Оператор Лапласа........................................................................... 44

6. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ.......................................................................... 47

7. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ..................................... 54

7.1. Ответы к задачам для самостоятельной работы.................................. 59

8. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ............................................................................ 60

9. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК.......................................................... 68

1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
(ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА)