Суть прийняття рішення за принципом Белмана–Заде

Традиційний підхід до прийняття рішення на основі нечіткої логіки базується на принципі Белмана–Заде, який розглядає нечітке рішення як об’єднання нечітких цілей та обмежень.
У 1970р. Белман і Заде опублікували статтю «Decision – Making in Fuzzy Environment», де розглянули процес ухвалення рішень в умовах невизначеності, коли цілі і обмеження задані нечіткими множинами. Ухвалення рішення – це вибір альтернативи, яка одночасно задовольняє і нечітким цілям, і нечітким обмеженням. У цьому сенсі цілі та обмеження є симетричними відносно рішення. Це стирає відмінності між ними і дозволяє представити рішення як злиття нечітких цілей і обмежень.
Нехай X={x} – множина альтернатив. Нечітку мету G будемо ототожнювати з нечіткою множиною G в X. Наприклад, якщо альтернативами є дійсні числа, то X= R і нечітка мета формулюється як «x повинно бути біля 10». Її можна представити нечіткою множиною з такою функцією приналежності:

(1)

Аналогічним чином нечітке обмеження C визначається як деяка нечітка множина на універсальній множині X. Наприклад, нечітке обмеження «x повинно бути значно більше 8» при X= R можна представити нечіткою множиною з такою функцією приналежності

(2)

Нечітке рішення D також визначається як нечітка множина на універсальній множині альтернатив X. Функція приналежності цієї нечіткої множини показує, наскільки добре рішення задовольняє нечітким цілям ТА нечітким обмеженням. Логічній операції ТА, яка пов’язує цілі з обмеженнями, відповідає перетинання нечітких множин. Отже, рішення – це перетинання нечіткої мети з нечітким обмеженням:

(3)

Якщо на множині альтернатив D = {d₁, d₂,...} задана нечітка функція мети G та нечітке обмеження (відображення є тотожним), то нечітким рішенням цієї задачі виступає множина, утворена в результаті перетину нечіткої мети та обмеження (рис. 1).

Рис.1 – Знаходження нечіткого рішення як перетину нечітких цілей і нечітких обмежень