Свойства скалярного произведения векторов

1) ;

2) , если ^ или хотя бы один из векторов есть нулевой вектор (справедливо и обратное утверждение);

3) ;

4) для " ;

5) .

Справедливость первых четырех свойств непосредственно следует из определения скалярного произведения. Докажем справедливость распределительного свойства 5. согласно формуле (56) и теореме 13.2 о проекции имеем .

Пусть векторы и заданы своими координатами , .

Найдем скалярное произведение . Вычислим предварительно скалярные произведения единичных векторов.

Имеем , , . Векторы взаимно перпендикулярны. Тогда, согласно свойству 2, их произведения друг на друга равны нулю.

Используя распределительный закон скалярного произведения, получим

Итак, если векторы и заданы своими координатами, то

(57)

Следствие 1. Если ^ , то или

. (58)

Условие (58) называется условием перпендикулярности двух векторов.

Следствие 2. Так как , то

. (59)

ПРИМЕР 18.1. Вычислить работу по перемещению материальной точки вдоль отрезка из точки в точку под действием постоянной по величине и направлению силы .

Решение. Из курса физики известно, что работа , совершаемая при указанных в примере условиях, находится по формуле . Так как , то

.

Ответ: 5.

B

ПРИМЕР 18.2. Даны вершины треугольника и . Определить внутренний угол треугольника при вершине (рис.22).

	A		C

Решение. Построим векторы и . Имеем . Тогда

^ .

Ответ: .

Из приведенных примеров следует, что скалярное произведение векторов широко применяются в геометрии при поиске углов, в физике – при определении работы.