Линейные операторы

148) Пусть А – матрица линейного оператора в старом базисе в Rⁿ. C- матрица перехода от старого базиса к новому. Тогда матрица линейного оператора в новом базисе равна…

а) С^-1*С*А;

б) С* С^-1 *А;

в) С^-1*А*С;

г) С*А*С^-1.

149) Пусть А+В - сумма линейных операторов А и В, х –вектор. Тогда

а) (А+В)(х)=А(х)*В(х);

б) (А+В)(х)=А(х)-В(х);

в) (А+В)(х)= В(х)-А(х);

г) (А+В)(х)=А(х)+В(х);

150) Пусть О - нулевой линейный оператор, x- вектор. Тогда

а) О(х)=x;

б) О(х)=1;

в) О(х)=-1;

г) О(х)= .

151) Пусть E - тождественный линейный оператор, x- вектор. Тогда

а)Е(х)= ;

б) Е(х)=x;

в) Е(х)=1;

г) Е(х)=-1.

152) При каких условиях оператор является линейным?

а) А(х+у)=А(х)+А(у) и А(ƛх) = ƛ А(х);

б) А(х+у)=А(х)-А(у) и А(ƛх) = ƛ А(х);

в) А(х+у)=А(х)+А(у) и А(ƛх) = -ƛ А(х);

г) А(х+у)=А(х)*А(у) и А(ƛх) = -ƛ А(х);

153) Пусть А*В - произведение линейных операторов А и В, х –вектор. Тогда

а) (А*В)(х)=А(x)*В(х);

б) (А*В)(х)=B(A(х));

в) (А*В)(х)=А(В(х));

г) (А*В)(х)= А(x)+В(х);

154) Пусть ƛ*A - произведение линейного оператора А на число ƛ, х –вектор. Тогда

а) (ƛ*А)(х)= ƛ*x*А(х);

б) (ƛ*А)(х)= ƛ*А(х);

в) (ƛ*А)(х)= ƛ*А;

г) (ƛ*А)*(х)= A* х;

155) Выберите верное утверждение

а) ранг линейного оператора равен рангу его матрицы в любом базисе;

б) ранг линейного оператора равен рангу его матрицы только в ортонормированном базисе;

в) ранг линейного оператора больше ранга его матрицы в любом базисе;

г) ранг линейного оператора меньше ранга его матрицы в любом базисе;

156) Пусть A - линейный оператор, x- вектор. y=A(x). Тогда

а) x- прообраз y;

б) x- образ y;

в) x- потомок y;

г) x- отражение y.

157) В чем заключается свойство аддитивности линейного оператора?

а) А(х₁+х₂)=А(х₁)-А(х₂).

б) (ƛ*А)(х)= ƛ*А(х);

в) (ƛ*А)(х)= ƛ+А(х);

г) А(х₁+х₂)=А(х₁)+А(х₂).

158) Пусть в пространстве R³ линейный оператор в базисе е₁,е₂,е₃ задан матрицей А= . х=4е₁-3е₂+е₃. Найти А(x).

а) А(х)=10е₁-13е₂-18е₃;

б) А(х)= 5е₁+13е₂-18е₃;

в) А(х)=11е₁+15е₂-10е₃;

г) А(х)=17е₁-3е₂+5е₃.

159) Выяснить, является ли оператор A, действующий по правилу

А(х₁; х₂; х₃)=(2х₁-х₃; х₃; х₁-х₂) линейным?

а) не является линейным;

б) является линейным;

в) невозможно определить;

г) оператор является векторным.

160) Найти матрицу линейного оператора А, действующего по правилу у=А(х)=(х₁+х₂-х₃; 2х₃; 2х₂+5х₃), где х=(х₁; х₂; х₃) в том базисе, в котором даны координаты векторов х,у.

а) А= ;

б) A= ;

в) A= ;

г) А= .

161) Найти координаты вектора у=А(х), если оператор А задан матрицей

А= , х=е₁

а) у(х)=(-1;4)_;

б) у(х)=(2;3);

в) у(х)=(2;-1);

г) у(х)=(3;4).

162) Найти матрицу А^* линейного оператора в базисе (е₁^*; е₂^*; е₃^*), заданного матрицей А в базисе (е₁, е₂, е₃): А= ,

е₁=е₁^*,

е₂=3е₁^*+е₂^*,

е₃=2е₁^*+е₂^*+2е₃^*,

а) А*= ;

б) А^*= ;

в) А^*= ;

г) А^*=

163) Найти координаты вектора у=А(х), если оператор А задан матрицей

А= и х= -е₁+2е₂+е₃

а) у(х)=(1;3;-4);

б) у(х)=(1;3;4);

в) у(х)=(1;-3;4);

г) у(х)=(-1;3;4).

164) Выяснить, является ли оператор линейным, если он действует по правилу: А(х₁, х₂,х₃) =(0;0;0).

а) является линейным;

б) не является линейным;

в) невозможно определить;

г) оператор является векторным.

165) Выяснить, является ли оператор линейным, если он действует по правилу: А(х₁, х₂,х₃)=(х₁;х₂;х₃).

а) не является линейным;

б) является линейным;

в) невозможно определить;

г) оператор является векторным.

166) найти координаты вектора у=А(х), если оператор А задан матрицей

А= и х=(2; -1)

а) у=(-3;3);

б)у=(3; -3);

в) у=(-3; -3);

г) у=(3; 3).

167) найти матрицу А^* линейного оператора в базисе (е₁^*; е₂^*; е₃^*), заданного матрицей А в базисе (е₁, е₂, е₃) А= ,

е₁^*=2е₁+ е₂-е₃,

е₂^*=2е₁ -е₂ +2е₃,

е₃^*= 3е₁ +е₃,

а)А= ;

б) А= ;

в) А= ;

г) А= .

168) Вставьте пропущенное слово. Для того чтобы число λ было собственным значением линейного оператора А, необходимо и достаточно, чтобы оно являлось..... его характеристического многочлена.

а) корнем;

б) степенью;

в) значением;

г) элементом.

169) Множество всех собственных значений называется

а) рангом;

б) спектром;

в) следом;

г) определителем.

170) Если (А - ƛЕ)h=0, то для линейного оператора с матрицей А вектор h является

а) направляющим;

б) присоединенным;

в) собственным;

г) базисным.

173) Выберите верное утверждение:

а) характеристический многочлен линейного оператора А не зависит от базиса, в котором выписана его матрица

б) характеристический многочлен линейного оператора А зависит от базиса, в котором выписана его матрица

в) характеристический многочлен линейного оператора А определяется базисом, в котором выписана его матрица

г) все три предыдущие утверждения ложны

174) Как выглядит характеристическое уравнение?

а) А-Е=0;

б) Е+ ƛх=0;

в) (А- ƛЕ)х=0;

г) А+ ƛЕ=1.

175) Найти собственные значения линейного оператора, заданного матрицей А= . В качестве ответа выбрать их сумму.

а) 5;

б) 8;

в) 9;

г) 6.

176) Одно из собственных значений линейного оператора, заданного матрицей равно 2. А=

Найдите другое собственное значение.

а) 0;

б) 3;

в) 45;

г) 6.

177) Найти собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей

А= .

В ответ записать отношение второй и третьей координат.

а) 4;

б) 2;

в) 8;

г) 0.

178) Найти собственные значения оператора А (матрицы А) А=

а) -2, -5;

б) -2, 5;

в) 2, -5;

г) 2, 5.