Моделювання пружних зв’язків

Механічна частина електропривода (ЕП) складається з декількох рухомих елементів, на які впливають різні зусилля або обертаючі моменти.

Моменти й зусилля, які створюються механічною частиною привода, можна розділити на рушійні моменти й моменти опору [12]. Рушійний (обертальний) момент створюється двигуном – момент на валу ротора М_{дв .}. Момент опору (статичний момент М_с або момент навантаження) створюється технологічним навантаженням. Статичний момент зумовлений наявністю технологічного навантаження й силами тертя і за своїм характером буває активним або реактивним. Реактивний створюється силами реакції середовища (наприклад, силами тертя) на тіло, що рухається і завжди має напрямок протилежний рухові. Активний створюється джерелом механічної енергії (наприклад, вагою вантажу, що підіймається) і його напрямок не залежить від напрямку обертання чи пересування.

Рух ЕП супроводжується зміною запасу кінетичної енергії в системі «електричний двигун – робочий механізм», що описується рівнянням механічного руху ЕП, де враховується взаємодія всіх зусиль і моментів у системі у будь-який момент часу. Рівняння механічного руху ЕП:

, (5.29)

де – момент інерції системи, що складається з моменту інерції ротора J_{дв .} та робочої машини J_РМ відповідно, ;

– кутова швидкість обертання двигуна, с ^-1.

Момент інерції залежить від маси тіла m, що обертається, і відстані до вісі обертання : .

Обертальний момент М_{дв .} беруть позитивним, якщо він спрямований убік руху привода, інакше – вважається неґативним. Статичний момент М_с уважається позитивним, якщо він виконує гальмуючу дію (при підйомі вантажу, при стисненні пружини та ін.); в інших випадках (при спуску вантажу, розтяганні пружини) вважають неґативним.

У більшості практичних випадків механічні зв'язки між кінематичними ланками вважаються абсолютно жорсткими. Тому реальна схема механічної частини електромеханічної системи замінюється еквівалентною схемою (рис. 5.18), де кутові швидкості, моменти інерції й опори заміняються еквівалентними величинами.

Рисунок 5.18 – Еквівалентна схема механічної частини ЕП

Рівняння руху еквівалентної системи:

, (5.30)

де – приведений до вала ЕД еквівалентний момент інерції, ; – приведений до вала ЕД еквівалентний статичний момент, .

У реальних умовах кожний елемент механічної системи (вал електродвигуна, вал робочої машини, трос, канат та ін.) має пружність і деформуються під впливом сил і моментів. На рис. 5.19 показано вал ЕД, що має пружні властивості.

Рисунок 5.19 – Елемент механічної частини ЕП, що має пружні властивості

До лівого кінця вала прикладений момент М ₁, а до правого – М ₂. Під дією цих моментів вал деформується і виникає пружний момент М_{пр .}. При цьому деформація вала дорівнює різниці кутів обертання кінців вала . Якщо зовнішні моменти М ₁, М ₂ зникнуть, то під дією пружного моменту зникне і деформація . Пружні властивості елементів механічної системи враховуються за допомогою коефіцієнта жорсткості:

. (5.31)

Коефіцієнт жорсткості залежить від геометричних розмірів пружного елемента, матеріалу, з якого його виготовлено, і технології виготовлення. Наприклад, для вала радіусом R при скручуванні коефіцієнт жорсткості визначається за формулою:

, (5.32)

де – момент інерції поперечного перерізу вала, м ⁴;

– модуль зсуву, Па;

L – довжина вала, м.

Чим більший коефіцієнт жорсткості, тим менша деформація виникає у пружному елементі. Величина, обернена коефіцієнтові жорсткості, називається податливістю.

Наявність пружних механічних зв'язків є чинником, що сприяє виникненню коливань, котрі за несприятливих умов істотно збільшують динамічні навантаження робочого устаткування.

Значна кількість механічних систем електроприводів промислових механізмів і машин має двомасову пружну систему, що є особливістю систем електропривода. Характерним прикладом об'єкта з пружними зв'язками є конвеєрна установка. Механічна частина конвеєрів являє собою досить складну систему з розподіленими за довжиною конвеєра параметрами: масою переміщуваного вантажу, масою і пружністю тягового органа, зусиллям статичного опору.

У реальних системах існують дисипативні сили, що призводять до поглинання енергії механічних коливань, наприклад, в’язке тертя, яке виникає при деформації механічного устаткування. Сили в’язкого тертя пропорційні швидкості деформації елемента і спрямовані протилежно до швидкості деформації.

Гальмівний момент в’язкого тертя:

, (5.33)

де – кутові швидкості обертання кінців механічної системи, що деформується.

Внутрішнє в’язке тертя в пружній системі на еквівалентній схемі позначають як вмикання механічного демпфера паралельно пружному зв’язку. Узагальнена еквівалентна схема двомасової механічної системи наведена на рис. 5.20.

Рисунок 5.20 – Еквівалентна схема механічної частини ЕП:

J ₁ – приведений момент інерції ротора двигуна і жорстко зв’язаних з ним елементів; J ₂ – приведений момент інерції елементів, жорстко зв’язаних з робочим механізмом; M_{дв .}, M_{с 1} – електромагнітний момент і момент опору двигуна відповідно; M_{с 2} – сумарний момент сил опору на валі робочого механізму; M ₁₂ – момент пружної взаємодії між пружними масами системи; – кутова швидкість та кути обертання валів двигуна і робочого механізму відповідно; – приведені еквівалентні коефіцієнти жорсткості та в’язкого тертя відповідно

Момент M_{с 1} складається із втрат на валу двигуна і втрат у жорстко зв’язаних з ним елементів (редуктор, барабан та ін.).

У результаті побудови еквівалентної схеми всі векторні величини мають напрямок вздовж однієї осі, що дає змогу замість векторних величин використовувати скалярні.

Відповідно до другого закону Ньютона рівняння, що описують рух двомасової системи (рис. 5.5) мають вигляд:

(5.34)

Для одержанная структурної схеми двомасової пружної механічної частини продиференціюємо останнє рівняння та приведемо систему (5.34) до канонічного вигляду:

(5.35)

З використанням методу зниження порядку похідної системі (5.35) відповідатиме структурна схема на рис. 5.21.

Рисунок 5.21 – Структурна схема двомасової пружної механічної системи

Рівняння руху для двомасової системи електропривода з урахуванням в’язкого тертя:

(5.36)

де – момент навантаження пружного зв’язку з урахуванням моменту втрат на внутрішнє в’язке тертя .

Структурна схема двомасової системи з урахуванням в’язкого тертя, що відповідає системі (5.36), наведена на рис. 5.22.

Рисунок 5.22 – Структурна схема двомасової пружної механічної системи з урахуванням в’язкого тертя