![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пример 2. Найдите поле разложения многочлена
над полем
и укажите степень расширения
.
Решение. Многочлен неприводим над
. Докажем, что
. Найдём решения уравнения
в факторкольце
. Корнями уравнения являются элементы:
и
. Присоединяя корни, находим, что
. То есть
и
.
Пример 3. Докажите, что число является алгебраическим.
Решение. Имеем: , a 3–3 a 2 i –3 a + i =2, a 3–3 a –2=(3 a 2–1) i, a 6+9 a 2+4–6 a 4–4 a 3+12 a =–9 a 4+6 a 2–1, a 6+3 a 4–4 a 3+3 a 2+12 a +5=0. Следовательно, число
алгебраическое.
8.1. Какие из числовых множеств образуют поле относительно операций сложения и умножения?
8.2. Докажите, что конечная область целостности является полем.
8.3. Докажите, что любое конечное поле имеет положительную характеристику.
8.4. Существует ли бесконечное поле положительной характеристики?
8.5. Докажите, что в поле выполняются равенства:
1) (
);
2) (
).
8.6. Найдите минимальный многочлен для элемента над полем
, если:
1) ,
;
2) ,
;
3) ,
;
4) ,
;
5) ,
.
8.7. Докажите, что элемент является алгебраическим над полем
, если:
1) ;
2) ;
3) .
8.8. Найдите степень элемента над полем
, если:
1) ;
2) ;
3) .
8.9. Докажите, что если многочлен неприводим над полем
, то для любых
,
, многочлен
неприводим над полем
.
8.10. Пусть - натуральное число,
- действительное положительное число. Докажите, что если числа
и
рациональные, то число
также рациональное.
8.11. Пусть - натуральное число,
- комплексное число, такие, что числа
и
рациональные. Можно ли утверждать, что число
также рациональное?
8.12. Найдите все неприводимые над полем многочлены второй степени из
.
8.13. При каких значениях факторкольцо
является полем?
8.14. Применяя алгоритм Евклида, найти наибольший общий делитель многочленов с коэффициентами из поля
, если:
1) ,
,
;
2) ,
,
;
3) ,
,
.
8.15. Докажите неприводимость многочленов ,
над полем
и построить изоморфизм факторколец
и
.
8.16. Вычислите образ в факторкольце
, если:
1) ;
2) .
8.17. Решите сравнения:
1) в
;
2) в
.
8.18. Найдите поле разложения многочлена
над полем
и укажите степень расширения
, если:
1) ,
;
2) ,
;
3) ,
;
4) ,
;
5) ,
;
6) ,
.
8.19. Докажите, что факторкольцо является полем, если:
1) ;
2) .
8.20. Напишите таблицы умножения для колец ,
,
.
8.21. Пусть - простое число,
- многочлен с коэффициентами из
. Докажите, что
для любого
.
8.22. Разложите многочлен в произведение неприводимых над полем
многочленов, если:
1) ,
;
2) ,
.
8.23. Докажите, что если - расширение поля
и степень расширения
- простое число, то единственными полями
, удовлетворяющими условию
являются
и
.
Шифрование.
Модулярным шифром называется отображение , где
,
.
Различают следующие модулярные криптосистемы: криптосистема Рабина,RSA-криптосистема, криптосистема с открытым ключом, криптосистема без передачи ключей, протокол прямого обмена ключами (метод Диффи-Хеллмана), электронная цифровая подпись и пороговая система.
Криптосистема Рабина. Выбираются нечетные простые числа и
вида
, (
). Они считаются секретными, а модуль
- несекретным. Функция шифрования задается формулой
, где
. Дешифрование сводится к решению сравнения
, которое распадается на четыре системы
,
. Поскольку система Рабина применяется для шифрования осмысленного текста, то при дешифровании из четырёх возможных решений выбирается вариант, соответствующий осмысленному тексту.
RSA-криптоситема. Пусть , где
и
- большие простые числа. Модуль
не является секретным, а числа
и
держатся в секрете. Число
(открытый ключ) берется взаимно простым с
. Число
(секретный ключ) находится из условия
,
. При RSA-шифровании текст или его часть отождествляется с натуральным числом
,
, а алгоритмы шифрования и дешифрования выглядят следующим образом:
,
. RSA-криптосистему можно использовать и для цифровой подписи сообщения
. Для этого обладатель секретного ключа вычисляет
. Пара чисел
считается подписанным сообщением. Его подлинность можно проверить с помощью несекретного ключа
:
.
Дата публикования: 2015-11-01; Прочитано: 416 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!