Показательные и полиномиальные сравнения. 5 страница

Пример 2. Найдите поле разложения многочлена над полем и укажите степень расширения .

Решение. Многочлен неприводим над . Докажем, что . Найдём решения уравнения в факторкольце . Корнями уравнения являются элементы: и . Присоединяя корни, находим, что . То есть и .

Пример 3. Докажите, что число является алгебраическим.

Решение. Имеем: , a ³–3 a ² i –3 a + i =2, a ³–3 a –2=(3 a ²–1) i, a ⁶+9 a ²+4–6 a ⁴–4 a ³+12 a =–9 a ⁴+6 a ²–1, a ⁶+3 a ⁴–4 a ³+3 a ²+12 a +5=0. Следовательно, число алгебраическое.

8.1. Какие из числовых множеств образуют поле относительно операций сложения и умножения?

8.2. Докажите, что конечная область целостности является полем.

8.3. Докажите, что любое конечное поле имеет положительную характеристику.

8.4. Существует ли бесконечное поле положительной характеристики?

8.5. Докажите, что в поле выполняются равенства:

1) ();

2) ().

8.6. Найдите минимальный многочлен для элемента над полем , если:

1) , ;

2) , ;

3) , ;

4) , ;

5) , .

8.7. Докажите, что элемент является алгебраическим над полем , если:

1) ;

2) ;

3) .

8.8. Найдите степень элемента над полем , если:

1) ;

2) ;

3) .

8.9. Докажите, что если многочлен неприводим над полем , то для любых , , многочлен неприводим над полем .

8.10. Пусть - натуральное число, - действительное положительное число. Докажите, что если числа и рациональные, то число также рациональное.

8.11. Пусть - натуральное число, - комплексное число, такие, что числа и рациональные. Можно ли утверждать, что число также рациональное?

8.12. Найдите все неприводимые над полем многочлены второй степени из .

8.13. При каких значениях факторкольцо является полем?

8.14. Применяя алгоритм Евклида, найти наибольший общий делитель многочленов с коэффициентами из поля , если:

1) , , ;

2) , , ;

3) , , .

8.15. Докажите неприводимость многочленов , над полем и построить изоморфизм факторколец и .

8.16. Вычислите образ в факторкольце , если:

1) ;

2) .

8.17. Решите сравнения:

1) в ;

2) в .

8.18. Найдите поле разложения многочлена над полем и укажите степень расширения , если:

1) , ;

2) , ;

3) , ;

4) , ;

5) , ;

6) , .

8.19. Докажите, что факторкольцо является полем, если:

1) ;

2) .

8.20. Напишите таблицы умножения для колец , , .

8.21. Пусть - простое число, - многочлен с коэффициентами из . Докажите, что для любого .

8.22. Разложите многочлен в произведение неприводимых над полем многочленов, если:

1) , ;

2) , .

8.23. Докажите, что если - расширение поля и степень расширения - простое число, то единственными полями , удовлетворяющими условию являются и .

Шифрование.

Модулярным шифром называется отображение , где , .

Различают следующие модулярные криптосистемы: криптосистема Рабина,RSA-криптосистема, криптосистема с открытым ключом, криптосистема без передачи ключей, протокол прямого обмена ключами (метод Диффи-Хеллмана), электронная цифровая подпись и пороговая система.

Криптосистема Рабина. Выбираются нечетные простые числа и вида , (). Они считаются секретными, а модуль - несекретным. Функция шифрования задается формулой , где . Дешифрование сводится к решению сравнения , которое распадается на четыре системы , . Поскольку система Рабина применяется для шифрования осмысленного текста, то при дешифровании из четырёх возможных решений выбирается вариант, соответствующий осмысленному тексту.

RSA-криптоситема. Пусть , где и - большие простые числа. Модуль не является секретным, а числа и держатся в секрете. Число (открытый ключ) берется взаимно простым с . Число (секретный ключ) находится из условия , . При RSA-шифровании текст или его часть отождествляется с натуральным числом , , а алгоритмы шифрования и дешифрования выглядят следующим образом: , . RSA-криптосистему можно использовать и для цифровой подписи сообщения . Для этого обладатель секретного ключа вычисляет . Пара чисел считается подписанным сообщением. Его подлинность можно проверить с помощью несекретного ключа : .