![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
4) , 5)
.
5.3. Решите полиномиальные сравнения, предварительно понизив их степени с помощью теоремы Ферма:
1) 2)
,
3) ,
4) ,
5) .
5.4. Докажите, что сравнение не имеет решений.
5.5. Решите следующие сравнения:
1) 2)
, 3)
,
4) , 5)
.
5.6. Решите следующие полиномиальные сравнения:
1) 2)
,
3) ,
4) ,
5) .
5.7. Решите следующие уравнения в натуральных числах
1) , 2)
, 3)
.
5.8. Для каждого натурального найдите число вычетов в полной системе вычетов по модулю
, удовлетворяющих сравнению
.
5.9. Докажите, что нахождение решений сравнения ax 2+ bx + c ≡ ≡0(mod m), , сводится к нахождению решений сравнения вида
.
5.10. В приведенной системе вычетов по модулю 23 найдите все квадратичные вычеты.
5.11. Используя свойства символов Лежандра и Якоби, исследовать на разрешимость сравнения:
1) , 2)
, 3)
,
4) , 5)
.
5.12. Укажите способ решения показательного сравнения , где
.
5.13. Укажите способ решения степенного сравнения , где
.
5.14. Пусть - простое число вида
. Для любого целого
найдите решение сравнения
в явном виде.
Группы.
Непустое множество с заданной на нем бинарной операцией
образует группу
, если выполнены условия:
1) операция ассоциативна, то есть
для любых
;
2) существует нейтральный элемент , то есть
для любого
;
3) для любого элемента существует обратный элемент
, то есть
.
Если операция коммутативна, то есть
для любых
, то группа
называется коммутативной или абелевой. Если множество
конечное, то группа
называется конечной, а число элементов множества
называется порядком группы
и обозначается
. Для любого целого числа
степень
элемента
определяется следующим образом:
,
для натуральных
,
. Натуральное число
называется порядком элемента
и обозначается
, если
и
для любого натурального
, меньшего
. Если группа
конечна, то для вычисления порядка степеней элементов справедлива формула:
,
.
Если в группе существует элемент
, такой, что для любого элемента
существует целое число
, такое, что
, то группа
называется циклической, а элемент
называется образующим элементом группы
и обозначается
.
Пусть - непустое подмножество множества G.
Если множество образует группу относительно операции
, то группу
называют подгруппой группы
и пишут
или
в случае
; если же
и
для любых
, то говорят, что
- нормальная подгруппа (нормальный делитель) группы
и обозначают
.
Пусть . Тогда для каждого элемента
множества
,
называются соответственно левым смежным классом и правым смежным классом. В случае
левый смежный класс
совпадает с правым смежным классом
и называется смежным классом по нормальной подгруппе.
Если , то для любых элементов
смежные классы
,
либо не пересекаются, либо совпадают и мощность каждого смежного класса равна мощности множества
.Если
– множество всех различных смежных классов, то
образует группу относительно операции
умножения смежных классов и
.
Группа называется фактор-группой группы
по подгруппе
; нейтральным элементом фактор-группы
является множество
, а обратным элементом к
является смежный класс
; число элементов в фактор-группе
, в случае её конечности, называется индексом подгруппы
в группе
и обозначается
. В случае конечности группы
имеет место равенство
(теорема Лагранжа).
Пусть и
- группы; отображение
называется гомоморфизмом групп, если
для любых
; ядром гомоморфизма
называется множество
, где
- нейтральный элемент группы
; образом гомоморфизма
называется множество
; ядро гомоморфизма
образует нормальную подгруппу группы
, образ гомоморфизма
образует подгруппу группы
; биективный гомоморфизм называется изоморфизмом; группы
и
называются изоморфными, если существует изоморфизм
, и обозначают
; для любого гомоморфизма
группы
и
являются изоморфными (теорема об изоморфизме); любая конечная циклическая группа порядка
изоморфна группе вычетов
по модулю
, любая бесконечная циклическая группа изоморфна аддитивной группе целых чисел
.
Пример 1. Определите, образует ли группу множество с операцией суперпозиции.
Решение. Проверим, что операция суперпозиции является бинарной операцией на множестве , т.е.
для любых
. Так как
, то
. Кроме того, для любого
.
Очевидно, операция суперпозиции является ассоциативной. Нейтральным элементом является тождественное отображение: ,
. Покажем, что обратным элементом к
является обратное отображение
. Так как
, то
. Возьмём произвольное
и обозначим
, тогда
,
. Так как
, то
. Следовательно,
. Отсюда получаем
. Множество
с операцией суперпозиции образует группу.
Пример 2. Найдите все подгруппы группы .
Решение. Докажем, что любая подгруппа группы имеет вид
, где
,
- некоторый натуральный делитель числа
. Пусть
- произвольная подгруппа группы
,
- наименьший натуральный вычет множества
. Допустим, существует такой элемент
, что
не делится на
, то есть
, где
,
. Но тогда
, что противоречит минимальности
. Следовательно, для любого
найдётся натуральное
, такое, что
. Допустим, что
не делится на
, тогда
, где
,
. Отсюда
, что противоречит минимальности
. Следовательно,
есть подмножество множества
. Очевидно,
.
Пример 3. Определите, являются ли группы и
изоморфными.
Решение. Обозначим ,
. Отображение
, действующее по правилу
,
, является гомоморфизмом, так как
.
Так как гомоморфизм биективный, то группы
,
являются изоморфными.
Пример 4. Пусть - циклическая группа 8-го порядка,
- её подгруппа порядка 4. Найдите индекс подгруппы
в группе
и вычислите фактор-группу
.
Решение. Пусть - образующий элемент группы
, тогда
. Так как
, то
, где
- некоторый делитель числа 8. Поскольку
, то
. Следовательно,
. Индекс
равен 2. Фактор-группа
состоит из двух смежных классов
и
.
6.1. Определите, какие из указанных множеств относительно заданных операций, образуют группу:
1) , где
- одно из множеств
;
2) , где
- одно из множеств
;
3) , где
- одно из множеств
;
4) , где
- одно из множеств
;
5) , где
- одно из множеств
(
- множество всех положительных чисел из множества
);
Дата публикования: 2015-11-01; Прочитано: 638 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!