Показательные и полиномиальные сравнения. 2 страница

4) , 5) .

5.3. Решите полиномиальные сравнения, предварительно понизив их степени с помощью теоремы Ферма:

1) 2) ,

3) ,

4) ,

5) .

5.4. Докажите, что сравнение не имеет решений.

5.5. Решите следующие сравнения:

1) 2) , 3) ,

4) , 5) .

5.6. Решите следующие полиномиальные сравнения:

1) 2) ,

3) ,

4) ,

5) .

5.7. Решите следующие уравнения в натуральных числах

1) , 2) , 3) .

5.8. Для каждого натурального найдите число вычетов в полной системе вычетов по модулю , удовлетворяющих сравнению .

5.9. Докажите, что нахождение решений сравнения ax ²+ bx + c ≡ ≡0(mod m), , сводится к нахождению решений сравнения вида .

5.10. В приведенной системе вычетов по модулю 23 найдите все квадратичные вычеты.

5.11. Используя свойства символов Лежандра и Якоби, исследовать на разрешимость сравнения:

1) , 2) , 3) ,

4) , 5) .

5.12. Укажите способ решения показательного сравнения , где .

5.13. Укажите способ решения степенного сравнения , где .

5.14. Пусть - простое число вида . Для любого целого найдите решение сравнения в явном виде.

Группы.

Непустое множество с заданной на нем бинарной операцией образует группу , если выполнены условия:

1) операция ассоциативна, то есть для любых ;

2) существует нейтральный элемент , то есть для любого ;

3) для любого элемента существует обратный элемент , то есть .

Если операция коммутативна, то есть для любых , то группа называется коммутативной или абелевой. Если множество конечное, то группа называется конечной, а число элементов множества называется порядком группы и обозначается . Для любого целого числа степень элемента определяется следующим образом: , для натуральных , . Натуральное число называется порядком элемента и обозначается , если и для любого натурального , меньшего . Если группа конечна, то для вычисления порядка степеней элементов справедлива формула: , .

Если в группе существует элемент , такой, что для любого элемента существует целое число , такое, что , то группа называется циклической, а элемент называется образующим элементом группы и обозначается .

Пусть - непустое подмножество множества G.

Если множество образует группу относительно операции , то группу называют подгруппой группы и пишут или в случае ; если же и для любых , то говорят, что - нормальная подгруппа (нормальный делитель) группы и обозначают .

Пусть . Тогда для каждого элемента множества , называются соответственно левым смежным классом и правым смежным классом. В случае левый смежный класс совпадает с правым смежным классом и называется смежным классом по нормальной подгруппе.

Если , то для любых элементов смежные классы , либо не пересекаются, либо совпадают и мощность каждого смежного класса равна мощности множества .Если – множество всех различных смежных классов, то образует группу относительно операции умножения смежных классов и .

Группа называется фактор-группой группы по подгруппе ; нейтральным элементом фактор-группы является множество , а обратным элементом к является смежный класс ; число элементов в фактор-группе , в случае её конечности, называется индексом подгруппы в группе и обозначается . В случае конечности группы имеет место равенство (теорема Лагранжа).

Пусть и - группы; отображение называется гомоморфизмом групп, если для любых ; ядром гомоморфизма называется множество , где - нейтральный элемент группы ; образом гомоморфизма называется множество ; ядро гомоморфизма образует нормальную подгруппу группы , образ гомоморфизма образует подгруппу группы ; биективный гомоморфизм называется изоморфизмом; группы и называются изоморфными, если существует изоморфизм , и обозначают ; для любого гомоморфизма группы и являются изоморфными (теорема об изоморфизме); любая конечная циклическая группа порядка изоморфна группе вычетов по модулю , любая бесконечная циклическая группа изоморфна аддитивной группе целых чисел .

Пример 1. Определите, образует ли группу множество с операцией суперпозиции.

Решение. Проверим, что операция суперпозиции является бинарной операцией на множестве , т.е. для любых . Так как , то . Кроме того, для любого

.

Очевидно, операция суперпозиции является ассоциативной. Нейтральным элементом является тождественное отображение: , . Покажем, что обратным элементом к является обратное отображение . Так как , то . Возьмём произвольное и обозначим , тогда , . Так как , то . Следовательно, . Отсюда получаем . Множество с операцией суперпозиции образует группу.

Пример 2. Найдите все подгруппы группы .

Решение. Докажем, что любая подгруппа группы имеет вид , где , - некоторый натуральный делитель числа . Пусть - произвольная подгруппа группы , - наименьший натуральный вычет множества . Допустим, существует такой элемент , что не делится на , то есть , где , . Но тогда , что противоречит минимальности . Следовательно, для любого найдётся натуральное , такое, что . Допустим, что не делится на , тогда , где , . Отсюда , что противоречит минимальности . Следовательно, есть подмножество множества . Очевидно, .

Пример 3. Определите, являются ли группы и изоморфными.

Решение. Обозначим , . Отображение , действующее по правилу , , является гомоморфизмом, так как

.

Так как гомоморфизм биективный, то группы , являются изоморфными.

Пример 4. Пусть - циклическая группа 8-го порядка, - её подгруппа порядка 4. Найдите индекс подгруппы в группе и вычислите фактор-группу .

Решение. Пусть - образующий элемент группы , тогда . Так как , то , где - некоторый делитель числа 8. Поскольку , то . Следовательно, . Индекс равен 2. Фактор-группа состоит из двух смежных классов и .

6.1. Определите, какие из указанных множеств относительно заданных операций, образуют группу:

1) , где - одно из множеств ;

2) , где - одно из множеств ;

3) , где - одно из множеств ;

4) , где - одно из множеств ;

5) , где - одно из множеств ( - множество всех положительных чисел из множества );