Показательные и полиномиальные сравнения. 3 страница

6) , где - множество целых чисел, кратных ;

7) ;

8) множество относительно операции : ;

9) множество всех комплексных корней из 1 фиксированной степени относительно умножения;

10) множество всех комплексных корней из 1 произвольных степеней относительно умножения;

11) множество всех комплексных чисел с фиксированным модулем относительно умножения;

12) множество всех комплексных чисел с ненулевыми рациональными модулями относительно умножения;

13) положительные действительные числа относительно операции ;

14) целочисленные матрицы порядка с определителем, равным 1, относительно умножения;

15) невырожденные квадратные матрицы порядка с элементами из множества относительно умножения, где - одно из множеств ;

16) , где - множество классов вычетов по модулю , кратных , причем n делитель m;

17) , где , причем n делитель m;

18) , где множество состоит из классов вычетов по модулю , взаимно простых с ;

19) , где - множество всех подмножеств заданного множества , - операция симметрической разности множеств;

20) , где - фиксированное действительное число.

6.2. Определите, являются ли изоморфными указанные группы:

1) и ;

2) и ;

3) и ;

4) и , где ;

5) группа мономиальных матриц порядка относительно умножения и группа подстановок ;

6) и .

6.3. Найдите все, с точностью до изоморфизма, группы порядков 2 и 3.

6.4. Приведите пример двух неизоморфных групп одинакового конечного порядка.

6.5. Описать левые смежные классы группы по подгруппе в следующих случаях:

1) ;

2) , ;

3) , , где , - множество всех невырожденных матриц порядка с действительными коэффициентами и множество матриц порядка с действительными коэффициентами и определителем, равным 1.

6.6. Найдите все подгруппы группы и укажите среди них нормальные, если:

1) ;

2) - циклическая группа 12-го порядка;

3) .

6.7. Докажите, что в конечной группе нечётного порядка имеется однозначно определенная операция извлечения квадратного корня.

6.8. Докажите, что всякая группа простого порядка является циклической.

6.9. Докажите, что подгруппа индекса 2 в любой группе является нормальной.

6.10. Докажите, что в любой конечной группе чётного порядка есть элемент порядка 2.

6.11. Сколько элементов порядка 6 имеет группа , если:

1) ;

2) ;

3) .

6.12. Найти порядок указанного элемента в группе , если:

1) , ;

2) , ;

3) , ;

4) , , где .

6.13. Вычислите в группе , если:

1) , ;

2) , ;

3) , .

6.14. Найдите в группе , если , где

, ,

.

6.15. Найдите в группе , если , где

, , .

6.16. Докажите, что в группе все элементы имеют конечный порядок.

6.17. Докажите, что множество всех целочисленных ортогональных матриц порядка образует группу относительно умножения и найдите порядок этой группы.

6.18. Докажите, что если в группе все элементы имеют порядок 2, то группа является абелевой.

6.19. Найдите все гомоморфизмы из группы в группу , а также ядра и образы этих гомоморфизмов.

6.20. Найдите число гомоморфизмов, действующих из группы в группу , если:

1) , ;

2) , ;

3) , .

6.21. Найдите все образующие элементы группы , если:

1) ;

2) , где .

Кольца.

Непустое множество К называется кольцом, если на нем определены две алгебраические операции (назовем их сложение и умножение), удовлетворяющие следующим условиям:

1) (К, +) – абелева группа;

2) умножение ассоциативно;

3) сложение и умножение связаны законами дистрибутивности, т.е. для любых

Обозначим через 0 нейтральный элемент кольца К относительно сложения.

Кольцо называется коммутативным, если умножение в нем коммутативно. Кольцо называется кольцом с единицей, если в нем существует нейтральный элемент относительно умножения. Кольцо называется кольцом без делителей нуля, если для любых ненулевых элементов кольца. Коммутативное кольцо с единицей без делителей нуля называется областью целостности.

В кольце К с единицей множество К * всех обратимых элементов является группой относительно умножения. Группа К * называется мультипликативной группой кольца К.

Пусть - кольца. Отображение называется гомоморфизмом кольца в кольцо если φ (g ₁+ g ₂)= = φ (g ₁)+ φ (g ₂) для любых Биективный гомоморфизм колец называется изоморфизмом колец. Обозначение:

Пусть - непустое подмножество множества ; если является кольцом, то кольцо называется подкольцом кольца и обозначается . Подкольцо I кольца К называется идеалом кольца К, если и обозначается . Пусть - коммутативное кольцо с единицей, - непустое подмножество кольца , тогда множество является идеалом кольца и называется идеалом, порождённым множеством ; обозначение: . Идеал, порождённый одним элементом кольца называется главным идеалом.

Непустое подмножество I кольца К является в К идеалом тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия: для любых для любых

Идеал I кольца K является нормальной подгруппой аддитивной группы кольца К.

На множестве смежных классов фактор-группы K / I определим операцию умножения смежных классов следующим образом: Множество всех смежных классов кольца К по идеалу I относительно сложения и умножения классов является кольцом. Это кольцо называется фактор-кольцом кольца К по идеалу I и обозначается, как и фактор-группа, K / I.

Пусть кольца, – гомоморфизм колец, нуль кольца Ядром гомоморфизма называется множество Ker φ = ={ a Î K: φ (a)=0’}. Ядро произвольного гомоморфизма является идеалом кольца К.

Пусть - гомоморфизм колец, тогда

Важным примером кольца является следующее кольцо.

Пусть m – фиксированное натуральное число. Множество является идеалом в кольце целых чисел Z. Фактор-кольцо кольца Z по идеалу называется кольцом вычетов по модулю m и обозначается

Пусть - область целостности; функция называется нормой в , если:

1) для любых ;

2) для любых существуют , такие, что и либо , либо .

Область целостности , на которой можно задать норму , называется евклидовым кольцом. Пусть - евклидово кольцо. Элемент называется делителем элемента , если существует , такое, что . Пусть - ненулевые элементы евклидова кольца , элемент называется наибольшим общим делителем элементов и , если является делителем элементов , и для любого общего делителя элементов , выполняется условие (обозначение наибольшего общего делителя: ). Наибольший общий делитель определён однозначно с точностью до умножения на обратимый элемент кольца . В евклидовом кольце для нахождения наибольшего общего делителя чисел , , используют алгоритм Евклида: элемент а разделим на b с остатком: где или . Если то Если то разделим b на с остатком: где или . Если то Если то разделим на с остатком: где или . И так далее продолжаем эту процедуру. Последний ненулевой остаток и будет наибольшим общим делителем элементов a и b.

Пример 1. Образует ли кольцо множество рациональных чисел, в несократимой записи которых знаменатели не делятся на фиксированное простое число ?

Решение. Обозначим через множество

.

Пусть , тогда , где , . Очевидно, . Так как не делит число , то не делит . Следовательно, . Далее , где , . Так как , то не делит . Отсюда . Множество образует абелеву группу относительно сложения: - нейтральный элемент, обратным элементом к является противоположное число , сложение ассоциативно и коммутативно. Умножение коммутативно. Кроме того, для любых Поэтому - кольцо.