Показательные и полиномиальные сравнения. 4 страница

Пример 2. В кольце многочленов с действительными коэффициентами найдите идеал, порождённый множеством .

Решение. Докажем, что . С одной стороны, так как , то любой элемент идеала делится на многочлен . С другой стороны, так как , то для любого многочлена существуют многочлены , , такие, что . Следовательно, .

Пример 3. Найдите число гомоморфизмов из кольца в кольцо .

Решение. Пусть j: Z ₄₀® Z ₆₀ – гомоморфизм, тогда j (0)=0. Возьмём произвольное , тогда . Очевидно, что любое отображение вида: является гомоморфизмом из в тогда и только тогда, когда . Таким образом, искомое число гомоморфизмов равняется числу вычетов в полной системе вычетов, удовлетворяющих сравнению . Так как , то каждое решение рассматриваемого сравнения удовлетворяет системе:

где , . Верно и обратное, каждое решение системы является решением сравнения. При фиксированных система имеет единственное решение в полной системе вычетов по модулю 60. Так как , то количество пар чисел , удовлетворяющих условиям , , равняется . Число гомоморфизмов из кольца в кольцо равняется 12.

7.1. Определите, какие из указанных множеств образуют кольцо относительно заданных операций:

1) , где - одно из множеств ;

2) , где - заданное множество;

3) , где ;

4) множество чисел вида , , относительно сложения и умножения;

5) множество гауссовых чисел , , относительно сложения и умножения;

6) множество вещественных ортогональных матриц порядка относительно сложения и умножения матриц;

7) множество матриц вида , где - фиксированное целое число, относительно сложения и умножения матриц;

8) множество вещественных матриц порядка , у которых последние две строки нулевые;

9) ;

10) ;

11) множество функций вещественной переменной, обращающихся в 0 на фиксированном подмножестве , относительно сложения и умножения.

7.2. Найдите все подкольца кольца , если:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

7.3. Найдите идеал кольца , порождённый множеством , если:

1) , ;

2) , ;

3) , ;

4) , , где .

7.4. Найдите все обратимые элементы в кольцах:

1) вещественных верхних треугольных матриц порядка ;

2) ;

3) .

7.5. Найдите число гомоморфизмов из кольца в кольцо , если:

1) , ;

2) , ;

3) , .

7.6. Докажите, что любой идеал кольца является главным.

7.7. Приведите пример кольца без единицы.

7.8. Докажите, что кольцо является евклидовым, если:

1) ;

2) ;

3) .

7.9. Вычислить фактор-кольца , если:

1) , ;

2) ;

3) , ;

4) , , где - различные натуральные числа.

7.10. Докажите, что если есть идеал кольца , то есть идеал кольца .

7.11. Является ли областью целостности?

7.12. Найдите все гомоморфизмы из кольца в кольцо .

7.13. Пусть . Докажите, что отображение , действующее по правилу , является гомоморфизмом колец . Найдите его ядро, образ и фактор-кольцо .

7.14. Образуют ли идеал необратимые элементы кольца , если:

1) ;

2) ;

3) , где .

7.15. Докажите, что кольца и изоморфны, если:

1) , ;

2) , , где ;

3) , , где - множество всех многочленов с чётными свободными членами в кольце .

Поля.

Коммутативное кольцо Р с единицей, состоящее не менее чем из двух элементов, в котором каждый ненулевой элемент обратим, называется полем.

Ясно, что если коммутативное кольцо с единицей () не содержит нетривиальных идеалов, то является полем.

Если Р – поле, то множество образует аддитивную абелеву группу, множество образует мультипликативную абелеву группу. В поле нет делителей нуля.

Подмножество F поля Р называется подполем поля Р, если F само является полем относительно индуцированных операций из поля Р. В этом случае поле P называется расширением поля F.

Пусть 1 – единица поля Р. Наименьшее натуральное число р, для которого т.е. (р раз), называется характеристикой поля Р (обозначение: char P). Если такого числа р не существует, то говорят, что поле Р имеет нулевую характеристику. Если натуральное число р является характеристикой поля Р, то р является простым числом.

Пусть F – расширение поля Р. Система элементов из называется линейно зависимой над полем , если существуют элементы , не все из которых нулевые, такие, что . Если равенство выполняется лишь при , то система называется линейно независимой над полем . Поле F называется конечным расширением поля P, если F – расширение поля Р и существует линейно независимая над полем система из , такая, что любой элемент можно единственным образом представить в виде где . В таком случае система называется базисом поля над полем . Число элементов базиса F над Р, называется степенью расширения и обозначается Если F – конечное расширение поля Р, Т – конечное расширение поля F, то Т – конечное расширение поля Р, причем [ T: P ]=[ T: F ]·[ F: P ].

Многочлен положительной степени с коэффициентами из поля называется приводимым над полем , если существуют многочлены , такие, что и . В противном случае многочлен положительной степени называется неприводимым над полем .

Пусть F – расширение поля Р. Элемент называется алгебраическим над полем Р, если существует многочлен такой, что . Расширение F поля Р называется алгебраическим расширением поля Р, если любой элемент поля F является алгебраическим над Р. Минимальным многочленом алгебраического элемента над полем Р называется многочлен наименьшей степени, для которого . Минимальный многочлен определён однозначно с точностью до умножения его на ненулевой элемент поля и является неприводимым над полем . Если - минимальный многочлен элемента над полем и - многочлен, одним из корней которого является элемент , то многочлен делится на многочлен . Степенью алгебраического элемента над полем называется число, равное степени минимального многочлена элемента . Элемент , который является алгебраическим над полем , называется алгебраическим числом.

Пусть - расширение поля . Обозначим через наименьшее поле, содержащее поле и элемент . Переход от поля к полю называется присоединением к элемента , поле называется простым расширением поля . Если элемент является алгебраическим степени над полем , то P [ a ]={ b ₀+ b ₁a+…+ b_{n -1} a^{n -1}| b ₀,…, b_{n -1}Î P } и . Расширение F поля Р называется полем разложения многочлена если в F [ x ], причем F – наименьшее поле, содержащее Р и . Очевидно, поле разложения многочлена может быть получено последовательным присоединением корней , , многочлена .

Если F – конечное поле с единицей , то F содержит элементов, где - характеристика поля F, - степень расширения поля F над полем .

Кольцо вычетов является полем тогда и только тогда, когда m является простым числом.

Пусть - поле, фактор-кольцо является полем тогда и только тогда, когда многочлен неприводим над полем .

Отметим, что неприводимыми над полем являются лишь многочлены первой степени, неприводимыми над полем являются многочлены первой степени и многочлены второй степени, не имеющие действительных корней. Достаточное условие неприводимости многочлена над полем даёт следующий признак Эйзенштейна: пусть - многочлен с целыми коэффициентами положительной степени и существует простое число , такое, что числа делятся на , число не делится на , число делится на , но не делится на , тогда многочлен неприводим над полем .

Пример 1. Пусть - произвольное поле. Определите, образует ли поле множество , состоящее из рациональных функций , где - взаимно простые многочлены над полем , .

Решение. Множество образует абелеву группу относительно операции сложения функций. Умножение функций ассоциативно и коммутативно, выполняется закон дистрибутивности относительно сложения и умножения. Следовательно, множество образует коммутативное кольцо. Функция является единицей кольца. Для любой функции элемент принадлежит множеству и является обратным элементом для . Учитывая, что , заключаем, что множество образует поле.