![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пример 2. В кольце многочленов с действительными коэффициентами найдите идеал, порождённый множеством
.
Решение. Докажем, что . С одной стороны, так как
, то любой элемент идеала
делится на многочлен
. С другой стороны, так как
, то для любого многочлена
существуют многочлены
,
, такие, что
. Следовательно,
.
Пример 3. Найдите число гомоморфизмов из кольца в кольцо
.
Решение. Пусть j: Z 40® Z 60 – гомоморфизм, тогда j (0)=0. Возьмём произвольное , тогда
. Очевидно, что любое отображение вида:
является гомоморфизмом из
в
тогда и только тогда, когда
. Таким образом, искомое число гомоморфизмов равняется числу вычетов
в полной системе вычетов, удовлетворяющих сравнению
. Так как
, то каждое решение рассматриваемого сравнения удовлетворяет системе:
где ,
. Верно и обратное, каждое решение системы является решением сравнения. При фиксированных
система имеет единственное решение в полной системе вычетов по модулю 60. Так как
, то количество пар чисел
, удовлетворяющих условиям
,
, равняется
. Число гомоморфизмов из кольца
в кольцо
равняется 12.
7.1. Определите, какие из указанных множеств образуют кольцо относительно заданных операций:
1) , где
- одно из множеств
;
2) , где
- заданное множество;
3) , где
;
4) множество чисел вида ,
, относительно сложения и умножения;
5) множество гауссовых чисел
,
, относительно сложения и умножения;
6) множество вещественных ортогональных матриц порядка относительно сложения и умножения матриц;
7) множество матриц вида ,
где
- фиксированное целое число, относительно сложения и умножения матриц;
8) множество вещественных матриц порядка , у которых последние две строки нулевые;
9) ;
10) ;
11) множество функций вещественной переменной, обращающихся в 0 на фиксированном подмножестве , относительно сложения и умножения.
7.2. Найдите все подкольца кольца , если:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
7.3. Найдите идеал кольца , порождённый множеством
, если:
1) ,
;
2) ,
;
3) ,
;
4) ,
, где
.
7.4. Найдите все обратимые элементы в кольцах:
1) вещественных верхних треугольных матриц порядка ;
2) ;
3) .
7.5. Найдите число гомоморфизмов из кольца в кольцо
, если:
1) ,
;
2) ,
;
3) ,
.
7.6. Докажите, что любой идеал кольца является главным.
7.7. Приведите пример кольца без единицы.
7.8. Докажите, что кольцо является евклидовым, если:
1) ;
2) ;
3) .
7.9. Вычислить фактор-кольца , если:
1) ,
;
2)
;
3) ,
;
4) ,
, где
- различные натуральные числа.
7.10. Докажите, что если есть идеал кольца
, то
есть идеал кольца
.
7.11. Является ли областью целостности?
7.12. Найдите все гомоморфизмы из кольца в кольцо
.
7.13. Пусть . Докажите, что отображение
, действующее по правилу
, является гомоморфизмом колец
. Найдите его ядро, образ и фактор-кольцо
.
7.14. Образуют ли идеал необратимые элементы кольца , если:
1) ;
2) ;
3) , где
.
7.15. Докажите, что кольца и
изоморфны, если:
1) ,
;
2) ,
, где
;
3) ,
, где
- множество всех многочленов с чётными свободными членами в кольце
.
Поля.
Коммутативное кольцо Р с единицей, состоящее не менее чем из двух элементов, в котором каждый ненулевой элемент обратим, называется полем.
Ясно, что если коммутативное кольцо с единицей (
) не содержит нетривиальных идеалов, то
является полем.
Если Р – поле, то множество образует аддитивную абелеву группу, множество
образует мультипликативную абелеву группу. В поле нет делителей нуля.
Подмножество F поля Р называется подполем поля Р, если F само является полем относительно индуцированных операций из поля Р. В этом случае поле P называется расширением поля F.
Пусть 1 – единица поля Р. Наименьшее натуральное число р, для которого т.е.
(р раз), называется характеристикой поля Р (обозначение: char P). Если такого числа р не существует, то говорят, что поле Р имеет нулевую характеристику. Если натуральное число р является характеристикой поля Р, то р является простым числом.
Пусть F – расширение поля Р. Система элементов из
называется линейно зависимой над полем
, если существуют элементы
, не все из которых нулевые, такие, что
. Если равенство
выполняется лишь при
, то система
называется линейно независимой над полем
. Поле F называется конечным расширением поля P, если F – расширение поля Р и существует линейно независимая над полем
система
из
, такая, что любой элемент
можно единственным образом представить в виде
где
. В таком случае система
называется базисом поля
над полем
. Число элементов базиса F над Р, называется степенью расширения и обозначается
Если F – конечное расширение поля Р, Т – конечное расширение поля F, то Т – конечное расширение поля Р, причем [ T: P ]=[ T: F ]·[ F: P ].
Многочлен положительной степени с коэффициентами из поля
называется приводимым над полем
, если существуют многочлены
, такие, что
и
. В противном случае многочлен
положительной степени называется неприводимым над полем
.
Пусть F – расширение поля Р. Элемент называется алгебраическим над полем Р, если существует многочлен
такой, что
. Расширение F поля Р называется алгебраическим расширением поля Р, если любой элемент поля F является алгебраическим над Р. Минимальным многочленом алгебраического элемента
над полем Р называется многочлен
наименьшей степени, для которого
. Минимальный многочлен определён однозначно с точностью до умножения его на ненулевой элемент поля
и является неприводимым над полем
. Если
- минимальный многочлен элемента
над полем
и
- многочлен, одним из корней которого является элемент
, то многочлен
делится на многочлен
. Степенью алгебраического элемента
над полем
называется число, равное степени минимального многочлена элемента
. Элемент
, который является алгебраическим над полем
, называется алгебраическим числом.
Пусть - расширение поля
. Обозначим через
наименьшее поле, содержащее поле
и элемент
. Переход от поля
к полю
называется присоединением к
элемента
, поле
называется простым расширением поля
. Если элемент
является алгебраическим степени
над полем
, то P [ a ]={ b 0+ b 1a+…+ bn -1 an -1| b 0,…, bn -1Î P } и
. Расширение F поля Р называется полем разложения многочлена
если
в F [ x ], причем F – наименьшее поле, содержащее Р и
. Очевидно, поле разложения многочлена
может быть получено последовательным присоединением корней
,
, многочлена
.
Если F – конечное поле с единицей , то F содержит
элементов, где
- характеристика поля F,
- степень расширения поля F над полем
.
Кольцо вычетов является полем тогда и только тогда, когда m является простым числом.
Пусть - поле, фактор-кольцо
является полем тогда и только тогда, когда многочлен
неприводим над полем
.
Отметим, что неприводимыми над полем являются лишь многочлены первой степени, неприводимыми над полем
являются многочлены первой степени и многочлены второй степени, не имеющие действительных корней. Достаточное условие неприводимости многочлена над полем
даёт следующий признак Эйзенштейна: пусть
- многочлен с целыми коэффициентами положительной степени
и существует простое число
, такое, что числа
делятся на
, число
не делится на
, число
делится на
, но не делится на
, тогда многочлен
неприводим над полем
.
Пример 1. Пусть - произвольное поле. Определите, образует ли поле множество
, состоящее из рациональных функций
, где
- взаимно простые многочлены над полем
,
.
Решение. Множество образует абелеву группу относительно операции сложения функций. Умножение функций ассоциативно и коммутативно, выполняется закон дистрибутивности относительно сложения и умножения. Следовательно, множество
образует коммутативное кольцо. Функция
является единицей кольца. Для любой функции
элемент
принадлежит множеству
и является обратным элементом для
. Учитывая, что
, заключаем, что множество
образует поле.
Дата публикования: 2015-11-01; Прочитано: 1100 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!