Изощренный, но не злонамеренный 27 страница

Рис 12.4 Первые несколько примеров способов (мод) колебаний струны.

И наоборот, раз уж струна вибрирует в такой причудливой моде, она содержит гигантское количество энергии. Таким образом, все способы колебаний струны, кроме простейших, являются высокоэнергетическими, а потому через Е = mc2 соответствуют частицам с гигантскими массами.

И, говоря гигантские, я действительно имею в виду гигантские. Расчеты показывают, что массы колебаний струны следуют сериями, аналогичными музыкальным гармоникам: они все являются кратными фундаментальной массе, массе Планка, почти как высшие тона все являются кратными повторениями фундаментальной частоты или тона. По стандартам физики частиц планковская масса колоссальна – около десяти миллиардов миллиардов (1019) масс протона, грубо порядка массы пылинки или бактерии. Так что возможные массы колебаний струны есть 0 масс Планка, 1 масса Планка, 2 массы Планка, 3 массы Планка и так далее, что показывает, что все массы, кроме 0-массы колебаний струны, чудовищно велики.[15]

Как вы можете видеть, некоторые частицы в Таблицах 12.1 и 12.2 на самом деле являются безмассовыми, но большая часть нет. А ненулевые массы в таблицах находятся дальше от планковской массы, чем султан Брунея от нуждающегося в кредите. Таким образом, мы ясно видим, что массы известных частиц не соответствуют образцам, выработанным теорией струн. Значит ли это, что теория струн вычеркивается? Вы можете так подумать, но это не так. Наличие бесконечного списка мод колебаний, чьи массы становятся все более удаленными от масс известных частиц, является вызовом, который теория должна преодолеть. Годы исследований открыли подающие надежды стратегии, как это сделать.

Для начала заметим, что эксперименты с известными семействами частиц научили нас, что тяжелые частицы имеют тенденцию быть нестабильными; обычно тяжелые частицы быстро разваливаются на поток частиц малой массы, в конце концов генерируя легчайшие и наиболее привычные семейства в Таблицах 12.1 и 12.2.

(Например, top-кварк распадается примерно за 10–24 секунды). Мы ожидаем, что этот урок сохранит справедливость и для "сверхтяжелых" мод колебаний струны, и это объяснит, почему, даже если они массово производились в горячей ранней вселенной, почти никто не уцелел до сегодняшнего дня. Даже если теория струн верна, нашим единственным шансом увидеть сверхтяжелый способ колебаний будет произвести его самим через высокоэнергетические столкновения в ускорителях частиц. Однако, так как сегодняшние ускорители могут достигнуть только энергий, эквивалентных грубо 1000 масс протона, они слишком маломощные, чтобы возбудить любой из самых спокойных способов колебаний теории струн. Таким образом, предсказание теории струн о башне частиц с массами, начинающимися от величины, в несколько миллионов миллиардов раз большей, чем достижимо для сегодняшней технологии, не находится в конфликте с наблюдениями.

Это объяснение также делает ясным, что контакт между теорией струн и физикой частиц будет касаться только самых низкоэнергетических – безмассовых – колебаний струны, поскольку другие находятся далеко за пределами того, что мы можем достигнуть с сегодняшней технологией. Но как быть с фактом, что большинство частиц в Таблицах 12.1 и 12.2 не являются безмассовыми? Это важная проблема, но менее неприятная, чем сначала она может выглядеть. Поскольку планковская масса гигантская, даже наиболее известные массивные частицы, top-кварки, весят всего только 10–17 от планковской массы. Так для электрона его вес составляет около 10–23 от планковской массы. Так что в первом приближении, – применимом с точностью лучше, чем одна часть на 1017, – все частицы в Таблицах 12.1 и 12.2 имеют массы равные нулю планковских масс (почти как самый богатый землянин, в первом приближении, равен нулю в единицах султана Брунея), точно как "предсказано" теорией струн. Нашей целью является улучшить это приближение и показать, что теория струн объясняет мелкие отклонения от нуля планковских масс, характеризующие частицы в Таблицах 12.1 и 12.2. Просто безмассовые способы колебаний не так сильно отклоняются от данных опыта, как вы могли сначала подумать.

Это ободряет, но детальное исследование обнаруживает дальнейшие проблемы. Используя уравнения теории суперструн, физики составили список каждого безмассового способа колебаний струны. Одна из записей является гравитоном со спином-2, и это большой успех, который дал ход целой теме; это обеспечивает, что гравитация является частью квантовой теории струн. Но расчеты также показывают, что имеется много больше безмассовых способов колебаний со спином-1, чем имеется частиц в Таблице 12.2, и имеется много больше безмассовых способов колебаний с полуцелым спином, чем имеется частиц в Таблице 12.1. Более того, список способов колебаний с полуцелым спином не показывает признаков повторяющегося группирования, подобного структуре поколений Таблицы 12.1. Значит, при менее поверхностной проверке кажется все более трудным увидеть, как колебания струн будут вставать в один ряд с известными семействами частиц.

Таким образом, к середине 1980х, в то время как существовали основания пребывать в возбуждении по поводу теории суперструн, также существовали и причины для скепсиса. Несомненно, теория суперструн представила солидный шаг к унификации. Обеспечив первый последовательный подход к соединению гравитации и квантовой механики, она сделала для физики то же, что сделал Роджер Баннистер в 1954 для бега на милю, "выбежав" из четырех минут: он показал, что кажущееся невозможным возможно. Теория суперструн определенно установила, что мы можем прорваться через кажущийся непроходимым барьер, разделяющий два столпа физики двадцатого столетия.

Однако, в попытках идти дальше и показать, что теория суперструн может объяснить детальные свойства материи и сил природы, физики столкнулись с трудностями. Это привело скептиков к заявлению, что теория суперструн, несмотря на весь ее потенциал для унификации, была просто математической структурой без прямого отношения к физической вселенной.

Даже с только что обсужденными проблемами во главе списка недостатков теории суперструн, составленного скептиками, была особенность, которую мне пора ввести. Теория суперструн на самом деле обеспечивает успешное соединение гравитации и квантовой механики, единственное, которое свободно от математической непоследовательности, которая была бедствием всех предыдущих попыток. Однако, хотя это может звучать странно, в первые годы после ее открытия физики нашли, что уравнения теории суперструн не имеют этих завидных свойств, если вселенная имеет три пространственных измерения. Вместо этого, уравнения теории струн математически состоятельны, только если вселенная имеет девять пространственных измерений, или, включая временное измерение, они работают только во вселенной с десятью пространственно-временными измерениями!

В сравнении с этим странно звучащим утверждением сложности в установлении детального соответствия между способами колебаний струн и известными семействами частиц кажутся второстепенной проблемой. Теория суперструн требует существования шести измерений пространства, которых никто никогда не видел. Это не деликатный вопрос - это проблема.

Или они есть?

Теоретические открытия, сделанные в течение первых десятилетий двадцатого века, задолго до выхода теории струн на сцену, намекали, что дополнительные измерения совсем не обязаны быть проблемой. И с доработками конца двадцатого века физики показали, что эти дополнительные измерения способны перекинуть мост через пропасть между способами колебаний струнной теории и элементарными частицами, открытыми экспериментаторами.

Это одна из самых впечатляющих теоретических разработок; посмотрим, как она работает.

Объединение в высших измерениях

В 1919 Эйнштейн получил статью, которую легко можно было выбросить как бред больного. Она была написана малоизвестным немецким математиком по имени Теодор Калуца и в нескольких коротких страницах закладывала подход к объединению двух сил, известных в то время, гравитации и электромагнетизма. Чтобы достигнуть этой цели, Калуца предложил радикально отступить кое от чего настолько основополагающего, настолько полностью считающегося доказанным, что это казалось вне вопросов. Он предположил, что вселенная не имеет три пространственных измерения. Вместо этого, Калуца попросил Эйнштейна и остальное физическое сообщество принять во внимание возможность, что вселенная имеет четыре пространственных измерения, так что вместе со временем она имеет пять пространственно-временных измерений.

Первое, что это вообще означает? Ну, когда мы говорим, что имеется три пространственных измерения, мы имеем в виду, что имеется три независимых направления или оси, вдоль которых вы можете двигаться. Из вашего текущего положения вы можете описать их как влево/вправо, назад/вперед и вверх/вниз; во вселенной с тремя пространственными измерениями любое движение, которое вы предпринимаете, является некоторой комбинацией движений в этих трех направлениях. Эквивалентно, во вселенной с тремя пространственными измерениями вам нужно три блока информации, чтобы определить положение. В городе, например, вам нужна улица, где стоит здание, пересекающая ее улица и номер этажа, чтобы определить, где у вас вечеринка. А если вы хотите показать людям, до какого момента еда еще горячая, вам также надо определить четвертый блок данных: время. Это то, что мы имеем в виду, полагая пространство-время четырехмерным.

Калуца предположил, что в дополнение к осям влево/вправо, назад/вперед и вверх/вниз вселенная на самом деле имеет еще одно пространственное измерение, которое по некоторым причинам никто никогда не видел. Если точно, это означает, что имеется другое независимое направление, в котором вещи могут двигаться, а следовательно, что нам нужно задать четыре блока информации, чтобы определить точное положение в пространстве, и всего пять блоков информации, если мы также определяем время.

Ладно; это то, что предлагала полученная Эйнштейном в апреле 1919 статья.

Вопрос, почему Эйнштейн ее не выбросил? Мы не видим другое пространственное измерение – мы никогда не находили себя бесцельно плутающими, поскольку улица, пересекающая ее улица и номер этажа почему-то недостаточны, чтобы определить адрес, – так почему стоит рассматривать такую ненормальную идею? Ну, вот почему. Калуца обнаружил, что уравнения ОТО Эйнштейна могут быть легко и красиво математически расширены на вселенную, которая имеет на одно пространственное измерение больше. Калуца предпринял это расширение и нашел достаточно естественно, что версия ОТО с большим числом измерений не только включает оригинальные уравнения гравитации Эйнштейна, но вследствие лишнего пространственного измерения также и дополнительные уравнения. Когда Калуца изучил эти дополнительные уравнения, он открыл нечто экстраординарное: дополнительные уравнения были ничем иным, как уравнениями, которые Максвелл открыл в девятнадцатом веке для описания электромагнитного поля! Представив вселенную с одним новым пространственным измерением, Калуца предложил решение того, что Эйнштейн рассматривал как одну из самых важных проблем всей физики. Калуца нашел схему, которая объединила оригинальные уравнения ОТО Эйнштейна с оригинальными уравнениями электромагнетизма Максвелла. Именно поэтому Эйнштейн не выбросил прочь статью Калуцы.

Интуитивно вы можете думать о предложении Калуцы следующим образом. В ОТО Эйнштейн пробудил пространство и время. Поскольку они гнутся и растягиваются, Эйнштейн осознал, что он нашел геометрическое воплощение гравитационной силы. Статья Калуцы наводила на мысль, что геометрическое богатство пространства и времени еще больше. В то время, как Эйнштейн обнаружил, что гравитационные поля могут быть описаны как деформации и рябь в обычных трех пространственных и одном временном измерении, Калуца обнаружил, что во вселенной с дополнительным пространственным измерением будут дополнительные деформации и рябь. И эти деформации и рябь, как показал его анализ, будут в точности годиться для описания электромагнитных полей. В руках Калуцы собственный геометрический подход Эйнштейна ко вселенной продемонстрировал достаточную силу, чтобы объединить гравитацию и электромагнетизм.

Конечно, там все еще была проблема. Хотя математически все разработано, не было – и все еще нет – подтверждения пространственного измерения вне трех, о которых мы все знаем. Так что же, открытие Калуцы было всего лишь курьезом или оно как-то значимо для нашей вселенной? Калуца сильно верил в теорию – он, например, учился плавать путем изучения учебника по плаванию, а затем лишь путем ныряния в море, – но идея о невидимом пространственном измерении, неважно, насколько неотразима теория, все же звучит скандально. Затем в 1926 шведский физик Оскар Кляйн ввел в идею Калуцы новый поворот, который намекает, где дополнительные измерения могут быть скрыты.

Скрытые измерения

Чтобы понять идею Кляйна, представим муравья Филиппа Пети, гуляющего по длинному покрытому резиной туго натянутому канату, растянутому между горами Эверест и Лхоцзе. Разглядываемый с расстояния многих миль, как на Рис. 12.5, канат выглядит как одномерный объект вроде линии – объект, который имеет протяженность только вдоль своей длины. Если мы различили, что маленький червяк ползет вдоль каната навстречу Филиппу, мы дико кричим ему, поскольку он должен будет остановиться впереди за шаг от Филиппа, чтобы избежать беды. Конечно, после мгновенного размышления мы все осознаем, что имеется больше поверхности каната, чем измерение влево/вправо, которое мы можем непосредственно воспринимать. Хотя ее трудно различить невооруженным глазом с большого расстояния, поверхность каната имеет второе измерение: измерение по и против часовой стрелки, измерение, которое "завернуто" вокруг каната. С помощью скромного телескопа это циклическое измерение становится видимым, и мы видим, что червяк может двигаться не только по длинному, развернутому измерению влево/вправо, но также и по короткому, "скрученному" направлению по/против часовой стрелки. Так что в каждой точке каната червяк имеет два независимых направления, по которым он может двигаться (это то, что мы имеем в виду, когда мы говорим, что поверхность каната двумерна*), так что он может безопасно отстраниться от пути Филиппа, или отползая от него вперед, как мы первоначально представляли, или отползая вокруг маленького циклического измерения и пропуская Филиппа мимо.

(*) "Если вы посчитаете все направления влево, вправо, по часовой стрелке и против часовой стрелки отдельно, вы придете к заключению, что червяк может двигаться в четырех измерениях. Но когда мы говорим о "независимых" измерениях, мы всегда группируем те из них, которые лежат вдоль одинаковых геометрических осей – вроде влево и вправо, а также по часовой стрелке и против часовой стрелки".

Канат иллюстрирует, что измерения – независимые направления, в которых что-либо может двигаться, – выступают в двух качественно различающихся вариантах. Они могут быть большими и легко видимыми, как размерность поверхности каната влево/вправо, или они могут быть маленькими и более трудно различимыми, как размерность по/против часовой стрелки, которая закручена вокруг поверхности каната. В этом примере не является большой проблемой увидеть малый циклический пояс на поверхности каната. Все, что нам нужно было, это подходящий увеличительный инструмент. Но, как вы можете представить, чем меньше скрученное измерение, тем более трудно его будет обнаружить. На расстоянии нескольких миль сложность для обнаружения циклического измерения поверхности каната одна; она будет в некоторой степени другая для обнаружения циклического измерения чего-либо столь же тонкого, как зубная нить или узкое нервное волокно.

Рис 12.5 На удалении туго натянутый канат или провод выглядит одномерным, хотя в достаточно сильный телескоп его второе, скрученное измерение становится видимым.

Вклад Кляйна заключался в указании, что то, что справедливо для объекта внутри вселенной, может быть справедливо и для ткани самой вселенной. А именно, точно так, как поверхность каната имеет как большое, так и маленькое измерение, так же может быть и у ткани пространства. Может быть, что три известных всем нам измерения – влево/вправо, назад/вперед, вверх/вниз – подобны горизонтальному протяжению каната, большим измерениям, легко видимой их разновидности. Но точно так же, как поверхность каната имеет дополнительное, маленькое, скрученное, циклическое измерение, может быть, что ткань пространства также имеет маленькое, скрученное, циклическое измерение, настолько малое, что никто не имеет достаточно мощного увеличительного оборудования, чтобы обнаружить его существование. Вследствие его ничтожного размера, утверждал Кляйн, это измерение будет скрытым.

Насколько мало малое? Ну, включив определенные свойства квантовой механики в оригинальное предположение Калуцы, математический анализ Кляйна открыл, что радиус дополнительного циклического пространственного измерения, вероятно, будет порядка планковской длины[16], что определенно слишком мало для экспериментальной доступности (самое совершенное современное оборудование не может разрешить что-либо меньшее, чем тысячная часть размера атомных ядер, не достигая планковской длины более чем на фактор в миллион миллиардов). Однако, для воображаемого червяка планковского размера это мельчайшее скрученное циклическое измерение обеспечит новое направление, в котором он может странствовать точно так же свободно, как обычный червяк преодолевает циклическое измерение каната на Рис. 12.5. Конечно, точно так же, как обычный червяк находит, что там не так много места для исследований в направлении по часовой стрелке, прежде чем он окажется в своей стартовой точке, червяк планковской длины, ползущий вдоль скрученного измерения пространства, также будет постоянно возвращаться назад в свою стартовую точку. Но, оставив в стороне длину предпринятого им путешествия, скрученное измерение будет обеспечивать направление, в котором маленький червяк может двигаться так же легко, как он это делает в трех привычных развернутых измерениях.

Чтобы почувствовать интуитивный смысл того, на что это похоже, отметим, что то, на что мы ссылались как на скрученное измерение каната, – направление по/против часовой стрелки, – существует в каждой точке вдоль его протяженного измерения. Земной червяк может ползти вдоль циклического обода каната в любой точке вдоль его протяженной длины, так что поверхность каната может быть описана как имеющая одно длинное измерение с маленьким, циклическим измерением, прикрепленным к каждой точке, как на Рис. 12.6. Этот образ полезно иметь в уме, поскольку он также применим к предложению Кляйна для скрытого дополнительного пространственного измерения Калуцы.

Чтобы увидеть это, изучим еще раз ткань пространства путем последовательного показа его структуры на все меньших масштабах длины, как на Рис. 12.7. При первых нескольких уровнях увеличения ничего нового не обнаруживается: ткань пространства все еще выглядит трехмерной (что, как обычно, мы схематически представляем на печатной странице в виде двумерной сетки). Однако, когда мы опустимся до планковского масштаба, высшего уровня увеличения на рисунке, Кляйн внушает, что становится видимым новое скрученное измерение.

Рис 12.6 Поверхность натянутого каната имеет одно длинное измерение с циклическим измерением, присоединенным в каждой точке.

Рис 12.7 Предложение Калуцы-Кляйна заключается в том, что на очень малых масштабах пространство имеет дополнительное циклическое измерение, присоединенное к каждой привычной точке. Точно так же, как циклическое измерение каната существует в каждой точке вдоль его большого, протяженного измерения, циклическое измерение в этом предложении существует в каждой точке в привычных трех протяженных измерениях повседневной жизни.

На Рис. 12.7 мы проиллюстрировали это, дорисовав дополнительное циклическое измерение только в некоторых точках вдоль протяженных измерений (поскольку рисование кругов в каждой точке затемнит рисунок), и вы можете немедленно увидеть сходство с канатом на Рис. 12.6. В предложении Кляйна, следовательно, пространство должно представляться как имеющее три развернутых измерения (из которых мы показали на рисунке только два) с добавленным циклическим измерением, присоединенным к каждой точке. Отметим, что дополнительное измерение не есть выпуклость или петля внутри обычных трех пространственных измерений, как изобразительные ограничения рисунка могут заставить вас подумать. Вместо этого, дополнительное измерение есть новое измерение, полностью отличное от трех, нам известных, которое существует в каждой точке в нашем ординарном трехмерном пространстве, но столь мало, что ускользает от обнаружения даже самыми изощренными нашими инструментами.

С этой модификацией оригинальной идеи Калуцы Кляйн обеспечил ответ на то, как вселенная может иметь более, чем три пространственных измерения повседневного опыта, что дополнительное измерение остается скрытым; схема с тех пор стала известна как теория Калуцы-Кляйна. А поскольку дополнительное измерение пространства было все, что Калуце требовалось, чтобы соединить ОТО и электромагнетизм, теория Калуцы-Кляйна может показаться именно тем, что искал Эйнштейн. В самом деле, Эйнштейн и многие другие стали совершенно одержимы унификацией через новое, скрытое пространственное измерение и был предприняты решительные усилия, чтобы увидеть, будет ли этот подход работать в полных деталях. Но незадолго до этого теория Калуцы-Кляйна столкнулась со своими собственными проблемами. Вероятно, самая яркая из всех заключалась в том, что попытки включить электрон в картину с дополнительным измерением продемонстрировали свою неприменимость.[17] Эйнштейн продолжил барахтаться в схеме Калуцы-Кляйна, по меньшей мере, до начала 1940х, но начальные перспективы подхода так и не материализовались, и интерес постепенно вымер.

Однако, через несколько десятилетий теория Калуцы-Кляйна совершила впечатляющее возвращение.

Теория струн и скрытые размерности

В добавление к трудностям, с которыми теория Калуцы-Кляйна столкнулась при попытке описать микромир, была и другая причина для ученых сомневаться в этом подходе. Многие находили как произвольным, так и экстравагантным постулировать скрытую пространственную размерность. Это не то, как если бы Калуца пришел к идее нового пространственного измерения на основании жесткой цепочки дедуктивных рассуждений. Вместо этого он высосал идею из пальца, а после анализа ее последствий открылись неожиданные связи между ОТО и электромагнетизмом. Таким образом, хотя это было само по себе великое открытие, оно страдало недостатком ощущения неизбежности. Если бы вы спросили Калуцу и Кляйна, почему вселенная имеет пять пространственно-временных измерений, а не четыре, или шесть, или семь, или 7 000, коли на то пошло, они не смогли бы дать ответ, более убедительный, чем "Почему нет?"

Более чем через три десятилетия ситуация изменилась радикально. Теория струн является первым подходом для соединения ОТО и квантовой механики; более того, она имеет потенциал к объединению нашего понимания всех сил и всей материи. Но квантовомеханические уравнения теории струн не работают в четырех пространственно-временных измерениях, ни в пяти, шести, семи или 7 000. Вместо этого по причинам, обсуждающимся ниже в секции "Физика струн и дополнительные измерения", уравнения теории струн работают только в десяти пространственно-временных измерениях – девяти пространственных плюс время. Теория струн требует больше измерений.

Это фундаментально новый вид результата, с которым никогда раньше не сталкивались в истории физики. До струн ни одна теория совсем ничего не говорила о числе пространственных измерений во вселенной. Каждая теория от Ньютона к Максвеллу и к Эйнштейну полагала, что вселенная имеет три пространственных измерения, почти как мы все полагаем, что Солнце взойдет завтра. Калуца и Кляйн предложили поставить это под вопрос, подбросив мысль, что имеется четыре пространственных измерения, но это означало только другое допущение – отличающееся допущение, однако все равно допущение. Теперь же впервые теория струн обеспечила уравнения, которые предсказали число пространственных измерений. Вычисление – не допущение, не гипотеза, не внушенная догадка – определило число пространственных измерений в соответствии с теорией струн, и удивительной вещью оказалось, что вычисленное число равно не трем, а девяти. Теория струн неотвратимо привела нас ко вселенной с шестью дополнительным пространственными измерениями и потому обеспечила убедительную, готовую среду для оплаты счетов по идеям Калуцы и Кляйна.

Оригинальное предложение Калуцы и Кляйна предполагает только одно скрытое измерение, но оно легко обобщается на два, три или даже шесть дополнительных измерений, требуемых теорией струн. Например, на Рис. 12.8а мы заменили дополнительное циклическое измерение одномерной формы из Рис. 12.7 на поверхность сферы, двумерную форму (повторим из обсуждения в Главе 8, что поверхность сферы является двумерной, поскольку вам нужны два блока информации – вроде широты и долготы на земной поверхности, – чтобы определить положение).

(а) (b)

Рис 12.8 Смыкание вселенной с тремя обычными измерениями, представленными сеткой, и (а) двух скрученных измерений в форме пустых сфер, и (b) трех скрученных измерений в форме твердых шаров.

Как и с кругом, вы должны представлять сферу прикрепленной к каждой точке обычных измерений, даже если на Рис. 12.8а, чтобы оставить рисунок ясным, мы нарисовали только те сферы, которые лежат на пересечениях линий сетки. Во вселенной такого сорта вам всего понадобится пять блоков информации, чтобы определить положение в пространстве: три блока, чтобы определить ваше положение в больших измерениях (улица, пересекающая улица, номер этажа) и два блока, чтобы определить ваше положение на сфере (широта, долгота), прикрепленной к этой точке. Безусловно, если радиус сферы мал – в миллиарды раз меньше, чем атом, – последние два блока информации почти не будут иметь значения для относительно больших объектов вроде нас самих. Тем не менее, дополнительная размерность является интегральной частью ультрамикроскопического строения пространственной ткани. Ультрамикроскопическому червяку понадобятся все пять блоков информации и, если мы включим время, ему потребуется шесть блоков информации, чтобы указать, где будет вечеринка и в какое время.

Продвинемся еще на одно измерение дальше. На Рис. 12.8а мы рассмотреди только поверхность сфер. Представьте теперь, что, как на Рис.12.8b, ткань пространства включает также и внутренность сфер, – наш маленький планковского размера червяк может закопаться в сферу, как обычный червяк делает с яблоком, и свободно двигаться через ее внутренности. Чтобы определить положение червяка, теперь требуется шесть блоков информации: три, чтобы определить его положение в обычных протяженных пространственных измерениях, и еще три, чтобы определить его положение в шаре, прикрепленном к данной точке (широта, долгота, глубина проникновения). Вместе со временем, следовательно, это есть пример вселенной с семью пространственно-временными измерениями.

Теперь перепрыгнем дальше. Хотя это невозможно нарисовать, представьте, что в каждой точке в трех протяженных измерениях повседневной жизни вселенная имеет не одно дополнительное измерение как на Рис. 12.7, не два дополнительных измерения, как на Рис.12.8а, не три дополнительных измерения, как на Рис.12.8b, но шесть дополнительных пространственных измерений. Я, конечно, не могу визуализировать это, и я никогда не встречал никого, кто бы смог. Но его смысл ясен. Чтобы определить пространственное положение червяка планковского размера в такой вселенной, требуется девять блоков информации: три, чтобы определить его положение в обычных протяженных измерениях, и еще шесть, чтобы определить его положение в скрученных измерениях, прикрепленных к этой точке. Когда время также принимается во внимание, это оказывается вселенной с десятимерным пространством-временем, как требуется уравнениями теории струн. Если дополнительные шесть измерений скручены в достаточно малые образования, они легко ускользнут от обнаружения.

Форма скрытых размерностей

Уравнения теории струн на самом деле определяют больше, чем просто число пространственных размерностей. Они также определяют виды форм, которые дополнительные размерности могут принимать.[18] На предыдущих рисунках мы сосредоточились на простейших формах – круги, полые сферы, твердые шары, – но уравнения теории струн выбирают существенно более широкий класс шестимерных форм, известных как формы или многообразия или пространства Калаби-Яу. Эти пространства названы в честь двух математиков, Эугенио Калаби и Шинь-Тунь Яу, которые математически открыли их задолго до того, как стала очевидной их применимость к теории струн; грубая иллюстрация одного примера дана на Рис. 12.9а. Надо иметь в виду, что на этом рисунке двумерное изображение иллюстрирует шестимерный объект, и это приводит к большому числу существенных искажений. Даже при этих условиях рисунок дает грубое представление о том, на что похожи указанные формы. Если особая форма Калаби-Яу из Рис. 12.9а составляет дополнительные шесть измерений теории струн, пространство на ультрамикроскомическом масштабе будет иметь вид, иллюстрируемый на Рис.12.9b. Поскольку форма Калаби-Яу будет прилагаться к каждой точке в обычных трех измерениях, вы, и я и кто угодно другой прямо сейчас будет окружен и наполнен этими маленькими формами. Без преувеличения, если вы переходите из одного места в другое, ваше тело будет двигаться через все девять измерений, быстро и одно за другим проходя через целые формы, в среднем делая кажущимся, как будто вы не двигаетесь через дополнительные шесть измерений совсем.