Основные сведения о матрицах

Определение. Матрицей размера m´n, где m- число строк, n- число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются a_ij, где i- номер строки, а j- номер столбца. Матрицы обозначаются прописными (заглавными) буквами латинского алфавита: A,B,C, … Например, матрица

А =

Или, в сокращенной записи, А = (a_ij); i = 1,2, …, m; j = 1,2,…,n. (Пример).

Наряду с круглыми скобками используются и другие обозначения матрицы: [ ], çç ÷÷.

Определение. Две матрицы А и В одинаковых размеров называются равными А_m´n=B_m´n, если все элементы с одинаковыми индексами обеих матриц совпадают, т.е. a_ij=b_ij для любых i = 1,2, …, m; j = 1,2,…,n.

Определение. Матрица размера 1´n, состоящая из одной строки, называется матрицей (вектором) – строкой, матрица размера m´1, состоящая из одного столбца – матрицей (вектором) – столбцом, а матрица размера 1´1 – скалярной матрицей.

Определение. Если число столбцов матрицы равно числу строк (m=n), то матрица называется квадратной. (Пример).

Определение. Если матрица квадратная, то совокупность тех ее элементов a_ii. у которых номер строки равен номеру столбца, называется главной диагональю или просто диагональю матрицы. Таким образом, главную диагональ квадратной матрицы образуют элементы a₁₁, a₂₂,..., a_nn.

Определение. Квадратная матрица называется диагональной, если все ее недиагональные элементы равны нулю, т.е. это матрица вида .

Определение. Если у диагональной матрицы n-ого порядка все диагональные элементы равны единице, то матрица называется единичной матрицей n-ого порядка; она обозначается буквой Е:

Е =

Определение. Если a_mn = a_nm, то матрица называется симметрической.

Пример. - симметрическая матрица

Определение. Если все элементы матрицы любых размеров равны нулю, то она называется нулевой или нуль-матрицей.