Размерность и базис векторного пространства

Определение. Линейным подпространством линейного пространства L называется подмножество K векторов пространства L, замкнутое относительно операций сложения и умножения на число, т.е. из того, что векторы X,Y Î K, следует, что X + Y и aX принадлежат K.

Определение. Множество всех линейных комбинаций векторов А_1, А₂,..., А_n Î L a₁ А₁ + a₂ А₂ +...+ a_n А_n, a_i Î R, называется пространством, порожденным векторами А_1, А₂,..., А_n. (Проверьте, что оно является линейным подпространством векторного пространства L).

Если линейное подпространство К векторного пространства L не совпадает с ним, то его часто называют гиперплоскостью.

Определение. Набор векторов А_1, А₂,..., А_n Î L называется базисом пространства L, если выполняются два условия:

1. векторы А_1, А₂,..., А_n Î L линейно независимы;

2. пространство, порожденное векторами А_1, А₂,..., А_n Î L, совпадает с L, или всякий вектор пространства L линейно выражается через эти векторы.

Например, набор векторов E₁, E₂,..,E_n, у которых все координаты, кроме i-ой, равны нулю, а i-ая координата равна 1, является базисом в пространстве Rⁿ. Сами векторы E _i, i= 1,... n называют базисными.

Утверждение. Все базисы векторного пространства L, содержат одно и то же число векторов, которое называется размерностью dim(L) векторного пространства L.

Например, размерность Rⁿ равна dim(Rⁿ) = n.

Утверждение. Любой вектор A линейного пространства можно единственным способом разложить по базису, т.е. представить в виде линейной комбинации базисных векторов: A = a₁ А₁ + a₂ А₂ +...+ a_n А_n (7.1), где А_1, А₂,..., А_n - базисные векторы, а числа a_i (i = 1, 2,... n) – компоненты (координаты) вектора A в базисе А_1, А₂,..., А_n.

Замечание:

1) Базисом в 3-х мерном пространстве называются любые 3 некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке.

2) Базисом на плоскости называются любые 2 неколлинеарные векторы, взятые в определенном порядке.

3) Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор.

В связи с этим можно записать следующие свойства:

- равные векторы имеют одинаковые координаты,

- при умножении вектора на число его компоненты тоже умножаются на это число,

= .

- при сложении векторов складываются их соответствующие компоненты.

; ;

+ = .