N-мерные векторы и векторные пространства

Понятие множества является одним из основных в математике.

Определение. Семейство объектов, объединенных по определенному признаку, называется множеством. Объекты, составляющие множество, называются его элементами или точками.

Обычно множества обозначаются большими буквами, а входящие в них элементы – малыми буквами. Элемент x из множества Х - записывается: хÎ Х (х принадлежит Х); если же элемент х не входит в множество Х, то это соответствует записи х Ï Х (х не принадлежит Х). Если все элементы множества Х содержатся в другом множестве Y, то X Ì Y и говорят, что Х является подмножеством множества Y.

Множества всех плоских (2-мерных) или пространственных (3-мерных) векторов, рассмотренных выше, в которых определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, являются простейшими примерами векторных пространств. Обобщим понятие вектора для случая n-мерного пространства и дадим определение векторного пространства.

Определение. n-мерным вектором называется упорядоченная совокупность n действительных чисел, записываемых в виде Х = (x₁, x₂,... x_n), где x_i – i- ая компонента (координата) вектора Х.

Понятие n-мерного вектора широко используется в экономике, например, некоторый набор товаров можно охарактеризовать вектором Х = (x₁, x₂,... x_n), где x_i – количество i- го товара, а соответствующие цены можно записать в виде Р = (р₁, р₂,... р_n).

Два n-мерных вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты: X = Y Û x_i = y_i, i = 1, 2,... n.

Суммой двух векторов одинаковой размерности n называется вектор Z = X + Y, компоненты которого равны сумме соответствующих компонент слагаемых векторов: z_i = x_i + y_i, i = 1, 2,... n.

Произведением вектора Х на действительное число l называется вектор U = l X, компоненты u_i которого равны произведению l на соответствующие компоненты вектора Х: u_i = lx_i, i = 1, 2,... n.

Пусть X, Y, Z – любые векторы одинаковой размерности, a,b - любые числа. Линейные операции над векторами (сумма векторов и умножение вектора на число) удовлетворяют следующим свойствам (аксиомам):

1. X + Y = Y + X;

2. (X + Y) + Z = X + (Y + Z);

3. a(b X) = ( ab )X;

4. a (X + Y) = a X + a Y;

5. (a + b) X = a X + b X;

6. Существует нулевой вектор 0 = (0, 0,..., 0) такой, что X + 0 = X для любого вектора X (особая роль нулевого вектора);

7. Для любого вектора Х существует противоположный вектор (-Х) такой, что Х + (-Х) = 0;

8. 1× Х = Х для любого вектора Х (особая роль числового множителя 1).

Определение. Множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющие приведенным выше свойствам 1 – 8, называется векторным пространством Rn.

Заметим, что под X, Y, Z можно рассматривать не только векторы, но и элементы (объекты) любой природы. В этом случае соответствующее множество элементов называется линейным пространством L.