Линейная зависимость векторов

Определение. Вектор В называется линейной комбинацией векторов А_1, А₂,..., А_n векторного пространства Rⁿ, если он равен сумме произведений этих векторов на произвольные действительные числа: В = a₁ А₁ + a₂ А₂ +...+ a_n А_n, где a_1, a₂,... a_n – любые действительные числа.

Определение. Векторы А_1, А₂,..., А_n называются линейно зависимыми, если существует такая линейная комбинация a₁ А₁ + a₂ А₂ +...+ a_n А_n = 0, при не равных нулю одновременно a_i (i = 1, 2,... n), т.е. .

Если же a₁ А₁ + a₂ А₂ +...+ a_n А_n = 0 выполняется только при всех a_i = 0(i = 1, 2,... n), то векторы называются линейно независимыми.

Свойства линейно зависимой системы векторов.

Свойство 1. Если среди векторов А_i ( i = 1, 2,... n) есть нулевой вектор, то эти векторы линейно зависимы.

Свойство 2. Если к системе линейно зависимых векторов добавить один или несколько векторов, то полученная система тоже будет линейно зависима.

Свойство 3. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов раскладывается в линейную комбинацию остальных векторов.

Геометрический смысл линейной зависимости векторов очевиден для случаев двумерных векторов на плоскости и трехмерных векторов в пространстве:

В случае двух векторов, когда один вектор выражается через другой: , т.е. эти векторы коллинеарны или, что то же самое, они находятся на параллельных прямых.

Свойство 4. Любые 2 коллинеарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые 2 линейно зависимые векторы коллинеарны:

В пространственном случае линейной зависимости трех векторов они параллельны одной плоскости, т.е. компланарны.

Свойство 5. Любые 3 компланарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые 3 линейно зависимые векторы компланарны.

Т.е., достаточно «подправить» соответствующими сомножителями длины этих векторов, чтобы один из них стал суммой двух других (выражался через них).

Утверждение. В пространстве Rⁿ любая система, содержащая m векторов, линейно зависима при m > n.