Линейные операции над векторами

1. Умножение вектора на число.

Произведением вектора на число λ называется новый вектор такой, что:

1. ;

2. вектор коллинеарен вектору ;

3. векторы и направлены одинаково, если λ>0 и противоположно, если λ< 0. (Если λ=0, то из условия 1 следует, что ).

Произведение вектора на число λ обозначается .

Например, есть вектор, направленный в ту же сторону, что и вектор , и имеющий длину, вдвое меньшую, чем вектор .

Введённая операция обладает следующими свойствами:

4. Для любых чисел a и b и вектора выполняется равенство .

Действительно, векторы, стоящие в обеих частях равенства имеют одинаковую длину . Кроме того, ясно, что они одинаково направлены, т.к. их направление совпадает с направлением вектором , если a и b одного знака, и противоположно направлению , если a и b разных знаков.

5. Пусть дан вектор . Для любого коллинеарного ему вектора найдётся и притом только одно число l, удовлетворяющее равенству .

Доказательство свойства 2:

1. Пусть . Рассмотрим вектор . Очевидно, . Кроме того , поэтому . Из этих двух свойств следует, что , а значит .

2. Аналогично, если . Тогда .

Единственность числа λ следует из того, что при умножении вектора на два разных числа, получаем два разных вектора.

2. Сложение векторов.

Пусть и – два произвольных вектора. Возьмём произвольную точку O и построим вектор . После этого из точки A отложим вектор . Вектор , соединяющий начало первого вектора c концом второго , называется суммой этих векторов и обозначается . Сформулированное определение сложения векторов называют правилом параллелограмма, так как ту же самую сумму векторов можно получить следующим образом. Отложим от точки O векторы и . Построим на этих векторах параллелограмм ОАВС. Так как векторы , то вектор , являющийся диагональю параллелограмма, проведённой из вершины O, будет очевидно суммой векторов .

3.

4. Легко проверить следующие свойства сложения векторов.

1. Ясно, что прибавление нулевого вектора к некоторому вектору ā не меняет вектора , т.е. .

2. Сложение векторов коммутативно, т.е. .

Это свойство сразу следует из правила параллелограмма.

3.

Сложение векторов ассоциативно, т.е. для любых трёх векторов . Поэтому сумму трёх векторов часто записывают просто .

Сумму трёх векторов можно получить следующим образом. Из произвольной точки O откладывается вектор, равный первому вектору. К его концу присоединяется начало второго, к концу второго – начало третьего. Вектор, соединяющий начало первого вектора с концом последнего, будет суммой данных векторов. Аналогично строится сумма любого конечного числа векторов.

4. Для любого числа λ и любых векторов и .

Заметим, что при умножении векторов на число λ меняются только размеры векторов, т.е. масштаб чертежа, фигуры остаются подобными. Поэтому, так как векторы образуют стороны и диагональ параллелограмма, то, умножив все члены на λ, т.е. изменив лишь размеры векторов одинаковым образом, мы получим снова параллелограмм, а значит, сохранится равенство .

5. Для любых чисел a и b и любого вектора выполняется равенство .

5. Разность векторов.

Вектор, коллинеарный данному вектору , равный ему по длине и противоположно направленный, называется противоположным вектором для вектора и обозначается . Противоположный вектор можно рассматривать как результат умножения вектора на число λ = –1: .

Разностью двух векторов и называется вектор , равный сумме векторов и , т.е. .

Очевидно, что , для любого вектора .

Легко показать, что .

Действительно,

Таким образом, если .

Из определения суммы двух векторов вытекает правило построения вектора разности. Откладываем векторы и из общей точки O. Чтобы найти вектор-разность, нужно к добавить вектор или . Тогда . Вектор , соединяющий концы векторов и и направленный от "вычитаемого" к "уменьшаемому" (т.е. от второго вектора к первому), и будет разностью . Действительно, по правилу сложения векторов или .

Таким образом, если на векторах и , отложенных из общей точки O, построить параллелограмм OACB, то вектор , совпадающий с одной диагональю параллелограмма, равен сумме , а вектор , совпадающий с другой диагональю, равен разности .

Проекция вектора на ось

усть в пространстве даны два вектора и . Отложим от произвольной точки O векторы и . Углом между векторами и называется наименьший из углов . Обозначается . Рассмотрим ось l и отложим на ней единичный вектор (т.е. вектор, длина которого равна единице). Под углом между вектором и осью l понимают угол между векторами и . Итак, пусть l – некоторая ось и – вектор. Обозначим через A1 и B1 проекции на ось l соответственно точек A и B. Предположим, что A1 имеет координату x1, а B1 – координату x2 на оси l. Тогда проекцией вектора на ось l называется разность x1 – x2 между координатами проекций конца и начала вектора на эту ось. Проекцию вектора на ось l будем обозначать . Ясно, что если угол между вектором и осью l острый, то x2 > x1, и проекция x2 – x1 > 0; если этот угол тупой, то x2 < x1 и проекция x2 – x1 < 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси l, то x2 = x1 и x2 – x1 = 0. Таким образом, проекция вектора на ось l – это длина отрезка A1B1, взятая с определённым знаком. Следовательно, проекция вектора на ось это число или скаляр. Аналогично определяется проекция одного вектора на другой. В этом случае находятся проекции концов даного вектора на ту прямую, на которой лежит 2-ой вектор. Рассмотрим некоторые основные свойства проекций. 1. Проеция вектора на ось l равна произведению модуля вектора на косинус угла между вектором и осью: Доказательство. Ясно, что проекция вектора не изменится при его параллельном переносе, поэтому достаточно рассмотреть случай, когда начало вектора совпадает с началом отсчёта O оси l. Так как координата проекции начала равна нулю, то обозначим . 1. Если угол φ острый, то из прямоугольного получаем . Откуда или 2. Если угол φ тупой, то x < 0, . Тогда из или . Т.е. . 2. Проекция суммы двух векторов на ось равна сумме проекций векторов на ту же ось: . Доказательство. Пусть . Обозначим через x1, x2 и x3 координаты проекций A1, B1, C1 на ось l точек A, B и C. Тогда . Но . Это свойство можно обобщить на случай любого числа слагаемых. 3. Если вектор умножается на число λ, то его проекция на ось также умножается на это число: . Доказательство. Пусть угол между вектором и осью . Если λ > 0, то вектор имеет то же направление, что и , и составляет с осью такой же угол . При λ > 0 . Если же λ < 0, то и имеют противоположные направления и вектор составляет с осью угол π – φ и . Следствие. Проекция разности двух векторов на ось равна разности проекций этих векторов на ту же ось.