![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
1. Умножение вектора на число.
Произведением вектора на число λ называется новый вектор
такой, что:
1. ;
2. вектор коллинеарен вектору
;
3. векторы и
направлены одинаково, если λ>0 и противоположно, если λ< 0. (Если λ=0, то из условия 1 следует, что
).
Произведение вектора на число λ обозначается
.
Например, есть вектор, направленный в ту же сторону, что и вектор
, и имеющий длину, вдвое меньшую, чем вектор
.
Введённая операция обладает следующими свойствами:
4. Для любых чисел a и b и вектора выполняется равенство
.
Действительно, векторы, стоящие в обеих частях равенства имеют одинаковую длину . Кроме того, ясно, что они одинаково направлены, т.к. их направление совпадает с направлением вектором
, если a и b одного знака, и противоположно направлению
, если a и b разных знаков.
5. Пусть дан вектор . Для любого коллинеарного ему вектора
найдётся и притом только одно число l, удовлетворяющее равенству
.
Доказательство свойства 2:
1. Пусть . Рассмотрим вектор
. Очевидно,
. Кроме того
, поэтому
. Из этих двух свойств следует, что
, а значит
.
2. Аналогично, если . Тогда
.
Единственность числа λ следует из того, что при умножении вектора на два разных числа, получаем два разных вектора.
2. Сложение векторов.
Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() |
3.
4. Легко проверить следующие свойства сложения векторов.
1. Ясно, что прибавление нулевого вектора к некоторому вектору ā не меняет вектора , т.е.
.
2. Сложение векторов коммутативно, т.е. .
Это свойство сразу следует из правила параллелограмма.
3.
Сложение векторов ассоциативно, т.е. для любых трёх векторов
. Поэтому сумму трёх векторов часто записывают просто
.
Сумму трёх векторов можно получить следующим образом. Из произвольной точки O откладывается вектор, равный первому вектору. К его концу присоединяется начало второго, к концу второго – начало третьего. Вектор, соединяющий начало первого вектора с концом последнего, будет суммой данных векторов. Аналогично строится сумма любого конечного числа векторов.
4. Для любого числа λ и любых векторов и
.
Заметим, что при умножении векторов на число λ меняются только размеры векторов, т.е. масштаб чертежа, фигуры остаются подобными. Поэтому, так как векторы
образуют стороны и диагональ параллелограмма, то, умножив все члены на λ, т.е. изменив лишь размеры векторов одинаковым образом, мы получим снова параллелограмм, а значит, сохранится равенство
.
5. Для любых чисел a и b и любого вектора выполняется равенство
.
5. Разность векторов.
Вектор, коллинеарный данному вектору , равный ему по длине и противоположно направленный, называется противоположным вектором для вектора
и обозначается
. Противоположный вектор
можно рассматривать как результат умножения вектора
на число λ = –1:
.
Разностью двух векторов
и
называется вектор
, равный сумме векторов
и
, т.е.
.
Очевидно, что , для любого вектора
.
Легко показать, что .
Действительно,
Таким образом, если .
Из определения суммы двух векторов вытекает правило построения вектора разности. Откладываем векторы и
из общей точки O. Чтобы найти вектор-разность, нужно к
добавить вектор
или
. Тогда
. Вектор
, соединяющий концы векторов
и
и направленный от "вычитаемого" к "уменьшаемому" (т.е. от второго вектора к первому), и будет разностью
. Действительно, по правилу сложения векторов
или
.
Таким образом, если на векторах и
, отложенных из общей точки O, построить параллелограмм OACB, то вектор
, совпадающий с одной диагональю параллелограмма, равен сумме
, а вектор
, совпадающий с другой диагональю, равен разности
.
Проекция вектора на ось
усть в пространстве даны два вектора ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Дата публикования: 2015-11-01; Прочитано: 569 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!