![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Мы рассмотрели умножение вектора на число. Однако во многих задачах механики и физики встречается операция умножения вектора на вектор. Но при этом результат может быть как числом, так и вектором. Поэтому рассматривают два вида умножения векторов: скалярное и векторное.
Пусть даны два вектора и
, угол между, которыми равен
.
Скалярным произведением векторов и
называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Скалярное произведение обозначается
. Итак,
.
Если один из векторов нулевой, то угол не определен, и скалярное произведение по определения считается равным нулю.
Рассмотрим свойства скалярного произведения.
Очевидно, из определения скалярного произведения:
.
.
Доказательство. Ограничимся случаем, когда λ > 0. В этом случае угол между векторами и
совпадает с углом между векторами
и
,
.
Поэтому . Откуда
Аналогично доказывается и равенство .
Случай λ <0 рассмотреть самостоятельно.
Доказательство. Используя определение скалярного произведения и свойства проекций вектора на ось, будем иметь
Действительно, так как , то
.
Из этого свойства в частности следует .
Это свойство очевидно из определения скалярного произведения.
Таким образом, необходимым и достаточным условием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения.
Пример. Дан вектор . Известно, что
Найти .
Имеем , т.е.
.
Найдем:
Следовательно, .
Рассмотрим, как находится скалярное произведение векторов, если они заданы в координатной форме. Пусть даны два вектора
и
.
Рассмотрим сначала все возможные скалярные произведения векторов друг на друга.
Поэтому
Итак, скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат: .
Это соотношение позволяет вычислить длину вектора через его координаты:
.
Далее из определения скалярного произведения находим
.
Выражая скалярное произведение и длины векторов через их координаты,получим формулу для нахождения косинуса угла между векторами
.
Условие ортогональности двух векторов:
или
.
Т.о., для того чтобы два вектора были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы сумма произведений соответствующих координат этих векторов была равна нулю.
Примеры.
B (5; 3; 10), C (2; 1; 14).
Условие ортогональности двух векторов .
. Следовательно, m = 15.
Дата публикования: 2015-11-01; Прочитано: 743 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!