![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Понятие обратной матрицы вводится только для квадратных матриц.
Если A – квадратная матрица, то обратной для неё матрицей называется матрица, обозначаемая A-1 и удовлетворяющая условию . (Это определение вводится по аналогии с умножением чисел)
Справедлива следующая теорема:
Теорема. Для того чтобы квадратная матрица A имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы её определитель был отличен от нуля.
Доказательство:
1. Необходимость. Пусть для матрицы A существует обратная матрица A-1. Покажем, что | A | ≠ 0.
Прежде всего заметим, что можно доказать следующее свойство определителей .
Предположим, что | A | = 0. Тогда . Но с другой стороны
. Полученное противоречие и доказывает, что | A | ≠ 0.
2. Достаточность. Для простоты доказательство проведём для случая матрицы третьего порядка. Пусть и | A | ≠ 0.
Покажем, что в этом случае обратной матрицей будет матрица
, где Aij алгебраическое дополнение элемента aij.
Найдём AB=C.
Заметим, что все диагональные элементы матрицы C будут равны 1. Действительно, например,
Аналогично по теореме о разложении определителя по элементам строки можно доказать, что c22 = c33 = 1.
Кроме того, все недиагональные элементы матрицы C равны нулю. Например,
Следовательно, AB=E. Аналогично можно показать, что BA=E. Поэтому B = A-1.
Таким образом, теорема содержит способ нахождения обратной матрицы.
Если условия теоремы выполнены, то матрица обратная к матрице находится следующим образом
,
где Aij - алгебраические дополнения элементов aij данной матрицы A.
Итак, чтобы найти обратную матрицу нужно:
1. Найти определитель матрицы A.
2. Найти алгебраические дополнения Aij всех элементов матрицы A и составить матрицу , элементами которой являются числа Aij.
3. Найти матрицу, транспонированную полученной матрице , и умножить её на
– это и будет
.
4.
Аналогично для матриц второго порядка, обратной будет следующая матрица .
Примеры.
1. Найти матрицу, обратную данной . Сделать проверку.
| A | = 2. Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы A.
Проверка:
.
Аналогично A∙A-1 = E.
2. Найти элементы и
матрицы A-1 обратной данной
.
Вычислим | A | = 4. Тогда .
.
3. . Найдем обратную матрицу.
Система линейных уравнений
Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида
где aij и bi (i =1,…, m; b =1,…, n) – некоторые известные числа, а x1,…,xn – неизвестные. В обозначении коэффициентов aij первый индекс i обозначает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент.
Коэффициенты при неизвестных будем записывать в виде матрицы , которую назовём матрицей системы.
Числа, стоящие в правых частях уравнений, b1,…,bm называются свободными членами.
Совокупность n чисел c1,…,cn называется решением данной системы, если каждое уравнение системы обращается в равенство после подстановки в него чисел c1,…,cn вместо соответствующих неизвестных x1,…,xn.
Наша задача будет заключаться в нахождении решений системы. При этом могут возникнуть три ситуации:
1. Система может иметь единственное решение.
2. Система может иметь бесконечное множество решений. Например, . Решением этой системы является любая пара чисел, отличающихся знаком.
3. И третий случай, когда система вообще не имеет решения. Например, , если бы решение существовало, то x1 + x2 равнялось бы одновременно нулю и единице.
Система линейных уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. В противном случае, т.е. если система не имеет решений, то она называется несовместной.
Рассмотрим способы нахождения решений системы.
Дата публикования: 2015-11-01; Прочитано: 306 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!