Кольцо многочленов от одной переменной

Пусть — ассоциативное коммутативное кольцо с единицей. Рассмотрим множество бесконечных упорядоченных последовательностей , , в которых почти все элементы, кроме конечного числа, равны нулю. Две последовательности будем складывать по правилу:

.

Умножение зададим формулой

, где .

Предложение 1. Построенное множество с указанными операциями сложения и умножения является ассоциативным коммутативным кольцом с единицей. Нулевым элементом является нулевая последовательность , противоположным элементом для — элемент , единичным элементом — .

Последовательности при сложении и умножении ведут себя так же, как элементы кольца , поэтому вместо будем писать .

Обозначим

… … …

.

Тогда в новых обозначениях последовательность запишется в виде .

Определение 1. Построенное кольцо будем обозначать через и называть кольцом многочленов от одной переменной ¹⁾, а его элемент — многочленом ²⁾.

Замечание 1. Кольцо также называют алгеброй многочленов от одной переменной, имея ввиду, что определено умножение многочлена на скаляр по формуле

,

а значит, является алгеброй над кольцом .

Определение 2. Говорят, что степень многочлена ³⁾ от одной переменной равна , если .

Предложение 2. Для любых двух многочленов справедливы неравенства:

1. ;
2. ;
3. если целостное, то .