Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Свойства смешанного произведения



1. Модуль смешанного произведения трех векторов равен объему параллелепипеда, построенного на трех исходящих из одной точки векторах. Смешанное произведение больше нуля, если тройка правая, и отрицательная, если она левая.

Доказательство: Отложим вектора , , из одной точки. Возможны две ситуации:

a) Тройка , , – правая; б) Тройка , , – левая.

       
   
 


Пусть .

Тогда

2. Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.

Доказательство. Если один из векторов нулевой, то свойство очевидно.

Пусть , , ¹ 0.

Пусть , , – компланарны. Тогда ^ .

Пусть Þ либо ^ , либо .

В первом случае это означает, что вектор ^ векторам , , Þ , , – компланарны. Во втором случае – || Þ и – линейно зависимы Þ , , – компланарны.

3. Смешанное произведение не зависит от группировки сомножителей, т.е. .

Доказательство. Тройки , , и , , ориентированы одинаково, значит знак смешанного произведения одинаковый. Модуль так же одинаковый в силу свойства 1.

Обозначение. Смешанное произведение векторов , , обозначается .

4. .

Следует из свойства циклической перестановки ориентированных векторов.

5. , .

Следует из свойств скалярного произведения.





Дата публикования: 2015-11-01; Прочитано: 363 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.007 с)...