![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Обозначение..
Замечание. Так как − абелева группа, то существует единственный нейтральный (нулевой) элемент, обозначаемый
, для каждого вектора
существует единственный симметричный (противоположенный) элемент, обозначаемый
, и для
уравнение
имеет единственное решение
, называемое разностью
и
.
Свойствалинейного пространства.
1) выполняется
.
2) выполняется
.
3) выполняется
.
4) выполняется
.
5) .
6) .
7) .
Доказательство.
1) Так как
в силу г)
имеем
. Аналогично,
имеем
.
2) В силу г) имеем
в силу разности векторов
.
3) Следует из 2) при .
4) Доказывается аналогично.
5) Если и
, то умножая это равенство на
получаем:
и
. Т.о., если
, то
. Обратное утверждение следует из 1).
6) Из .
7) Аналогично. ■
Примеры.
1) Если − поле и
, то
имеем
− векторное пространство, называемое нулевым.
2) − векторное пространство комплексных чисел над полем вещественных чисел.
− векторное пространство вещественных чисел над полем рациональных чисел.
3) Множество матриц размера
образует векторное пространство
.
4) Множество многочленов степени не выше n образует векторное пространство .
5) Множество непрерывных на
функций образует векторное пространство
.
6) – n -мерное координатное пространство (или арифметическое пространство), элементами которого являются упорядоченные наборы из n чисел:
. Операции определены следующим образом:
;
.
Задача. Проверить выполнение аксиом векторного пространства.
2о. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов
Это понятие является обобщением понятия линейной зависимости строк.
Определение 2. Линейной комбинацией векторов с коэффициентами
называется выражение вида:
.
Определение 3. Вектора называются линейно независимыми, если
, из которых хотя бы одно отлично от нуля, т.е. линейная комбинация
с этими
является нулевым вектором V, т.е.
. Вектора
, не являющиеся линейно зависимыми, называются линейно независимыми. Другими словами,
называются линейно независимыми, если их линейная комбинация является нулевым элементом V лишь при условии, что
Теорема 1.
1) Для того, чтобы элементы были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы один из этих элементов был линейной комбинацией остальных.
2) Если среди один элемент нулевой, то они линейно зависимы.
3) Если часть элементов множества линейно зависима, то и все элементы линейно зависимы.
Доказательство.
1. Аналогично доказательству из §8.
2. Если
и
– любое, например,
линейно зависимы.
3. Если – линейно зависимы, то
одновременно неравные нулю, так что
и хотя бы одно из
отлично от нуля
линейно зависимы. ч.т.д.
Пример. Рассмотрим линейное пространства и докажем, что n элементов из
вида
,
,…,
линейно независимы, а добавление еще одного элемента
приводит к линейно зависимой системе. Действительно, рассмотрим линейную комбинацию
с
. Имеем
. Вектор справа равен нулю, если все
, т.е.
– линейно независимы.
Добавим . Тогда по теореме 1, п. 1, достаточно показать, что x – линейная комбинация
. Действительно,
.
3о. Базис линейного пространства и координаты вектора в базисе.
Определение 5. Совокупность векторов называют базисом в
, если
1. вектора – линейно независимы;
2. для найдутся
. (1)
При этом равенство (1) называется разложением элемента по базису
, а
называются координатами
относительно базиса
.
Теорема 2 (о единственности разложения по базису). Любой элемент может быть единственным образом разложен по базису
, т.е. координаты вектора относительно базиса определяются однозначно.
Доказательство. Пусть и
. Тогда
. В силу линейной независимости
, что и требовалось доказать.
Теорема 3 (операции над векторами, заданными своими координатами). При сложении любых двух векторов и
их координаты (относительно любого фиксированного базиса в
) складываются; при умножении
на
, все координаты вектора умножаются на это число.
Доказательство. Пусть – базис в
,
,
. Тогда в силу аксиом линейного пространства
,
. В силу единственности разложения по базису
что теорема доказана.
Примеры.
1. Базис в – любое ненулевое число.
2. . Базис образуют матрицы
,
, …,
с одним единичным элементом.
3. – множество многочленов степени не выше n. Базис:
,
, …,
.
4. – см. выше.
4о. Размерность линейного пространства.
Определение 6. Линейное пространство называется n–мерным, если
1. В нем n линейно независимых векторов.
2. векторов линейно зависимы.
Тогда n называется размерностью и обозначается
.
Определение 7. Линейное пространство называется бесконечномерным, если в нем любое число линейно независимых векторов.
Выясним связь между понятием базиса и размерности линейного пространства.
Теорема 4. Если – линейное пространство размерности n, то
линейно независимых векторов этого пространства образуют его базис.
Доказательство. Пусть – система n линейно независимых векторов из
. Если
– любой вектор из
, то по Def 6, вектора
– линейно зависимы, т.е.
и среди есть хотя бы одно отличное от нуля. Очевидно, что
(т. к. иначе
– линейно зависимы)
, т.е.
– линейная комбинация
т. к.
– произвольный, то
–базис.
Теорема 5. Если имеет базис, состоящий из n элементов, то
.
Доказательство. Пусть – базис в
. Достаточно показать, что
векторов
линейно зависимы. Разложим их по базису:
,
…
,
где .
Очевидно, что линейная зависимость векторов эквивалентна линейной зависимости строк матрицы
.
Но строки этой матрицы заведомо линейно зависимы, т. к. порядок базисного минора не превосходит n и хотя бы одна из строк не является базисной, и по теореме о базисном миноре представляет собой линейную комбинацию базисных строк (а стало быть и остальных).
Примеры.
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
5о. Изоморфизм линейных пространств.
Здесь будет показано, что линейные пространства одной и той же размерности в смысле некоторых свойств, связанных с введенными операциями, не отличаются друг от друга.
Определение 6. Два произвольных линейных пространства V и над одним и тем же полем
называются изоморфными, если между элементами этих пространств можно установить взаимнооднозначное соответствие так, что если векторам
отвечают соответственные вектора
, то вектору
отвечает вектор
, а вектору
при
отвечает вектор
.
Свойства изоморфных пространств.
1. Нулевому элементу V соответствует нулевой элемент и наоборот.
Доказательство: Если .
2. Если элементам
соответствуют
, то линейная комбинация векторов
равна нулю V, т.е.
линейная комбинация
с теми же коэффициентами
равна нулю, т.е.
.
Доказательство следует из 1.
3. Если V и изоморфны, то максимальное число линейно независимых векторов в каждом из пространств одно и тоже, т.е. два изоморфных пространства имеют одну и туже размерность.
4. Пространства разных размерностей не могут быть изоморфными.
Теорема 6. Любые два –мерных линейных пространства V и
над одним и тем же полем
изоморфны.
Доказательство. Выберем в V базис − базис
Каждому элементу
, поставим в соответствие элемент
с теми же координатами
в базисе
.
Однако это соответствие взаимнооднозначно, т.к. имеет единственным образом определенные координаты
, которые в свою очередь, определяют единственный элемент
.
В силу равноправности V и ,
соответствует единственный
. Легко видеть, что если
в силу введенного соответствия.
Таким образомо все линейные пространства данной размерности –ная полем
изоморфны, то есть их свойства, связанные с линейными операциями неразличимы.
Тема 5. Пространство геометрических векторов,
Дата публикования: 2015-11-01; Прочитано: 297 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!