Свойства скалярного произведения

1) Коммутативность: .

Действительно, (т.к. , т.е. четная функция, то ) .

2) Скалярное произведение двух векторов равно длине одного вектора умноженной на проекцию другого на направление первого.

Действительно, .

Отсюда видно, что если , то .

Следовательно, проекция вектора на ось равна скалярному произведению этого вектора на направляющий вектор оси.

3) .

Действительно,

.

4) .

Действительно, .

5) Для того, что бы два ненулевых вектора были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение было равно нулю.

Пусть ^ Þ Þ Þ .

Пусть Þ , т.к. , Þ Þ Þ ^ .

6) Пусть Þ , т.е. Þ скалярный квадрат вектора равен квадрату длины вектора Þ .

Тогда

Вычисление скалярного произведения в прямоугольных координатах.

Пусть , .

(, ).

В прямоугольной декартовой системе координат скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат.

Некоторые метрические формулы.

1) Þ Þ

2) , Þ Þ .

3) Если , то , , .

Т.о., прямоугольные координаты вектора есть его ортогональные проекции на оси прямоугольной системы координат.

4) Пусть , Þ .

Таким образом, ^ Û .

Из формулы косинуса угла между векторами легко найти углы a, b, g, которые вектор образует с осями координат. Эти углы называются направляющими углами.

Имеем:

, , .

, , называются направляющими косинусами вектора . Они связаны соотношением

.

Следовательно, вектор есть координаты вектора , т.е. вектора и .

.

5^о. Векторное произведение векторов

Пусть даны два неколлинеарных и не нулевых вектора и .

Определение 1. Векторным произведением векторов и называется вектор , удовлетворяющий свойствам:

1. .

2. ^ и ^ .

3. тройка векторов , , – правая.

Если один из векторов нулевой, или вектора коллинеарны, то их векторное произведение равно нулю.