Вычисление векторного произведения в прямоугольных координатах

Пусть задана прямоугольная декартова система координат. Легко видеть, что для базисных векторов , , справедливо:

Þ очевидно, из коллинеарности.

. Из этого следует, что .

(см. рисунок).

Тогда для двух векторов

и .

Имеем:

Это равенство формально можно переписать в виде

.

Пример. Вычислить синус угла между векторами , .

Имеем: . . .

Так как модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах, то если , .

Имеем .

Если параллелограмм расположен в плоскости, то и .

Пример. Даны три точки , и .

Найти .

Решение. , где – площадь параллелограмма, построенного на векторах и . Имеем: , .

.

6^о. Смешанное произведение векторов

Пусть даны три вектора , , .

Определение 1. Смешанным произведением векторов называется произведение следующего вида: , т.е. вначале вектора и перемножаются векторно, а затем результат умножается скалярно на вектор .

В результате получается скалярная величина.