![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
При вычислении пределов функций мы использовали таблицу 1 эквивалентных бесконечно малых. Например, при вычислении предела мы использовали формулы
Однако этих формул не достаточно для вычисления предела
Нужны более точные формулы или так называемые асимптотические разложения высших порядков. Переходя к описанию таких разложений, введем следующее понятие.
Определение 5. Пусть функция определена в некоторой проколотой окрестности
точки Говорят, что функция
имеет в точке
асимптотическое разложение
го порядка, если существуют числа
такие, что
в некоторой в некоторой проколотой окрестности
представляется в виде
Здесь Равенство (3) означает, что функция
аппроксимируется (приближенно равна) в некоторой малой окрестности точки
многочленом. В каком случае функция
имеет асимптотическое разложение
порядка? Ответ на этот вопрос содержится в следующем утверждении.
Теорема 2. Пусть функция имеет в точке
производные
до
го порядка включительно. Тогда
имеет в точке
асимптотическое разложение
порядка вида
(формулу (4) называют формулой Тейлора с остаточным членом
в форме Пеано или локальной формулой Тейлора).
Если в (4) положить то получим формулу
называемую формулой Маклорена-Тейлора. Приведем формулы Маклорена-Тейлора для основных элементарных функций.
Теорема 3. Имеют место следующие разложения:
Доказательство этих формул базируется на подсчёте производной го порядка соответствующей функции. Докажем, например, формулу (2).
Итак, пусть По теореме 1 имеем
Значит, в формуле
будут отсутствовать все четные степени а слагаемые с нечетными степенями
имеют вид
Следовательно имеет место формула 2.
Замечание 1. В формуле 2 остаточный член можно записать в виде а в формуле 3–
в виде (почему?).
Теорема 2 аппроксимирует функцию лишь в достаточно малой окрестности точки
Условия представления функции
на некотором отрезке
(где
может быть достаточно большим) по формуле Тейлора описаны в следующем утверждении.
Теорема 4. Пусть функция удовлетворяет следующим условиям:
1) существуют и непрерывны на отрезке
;
2) производная существует и конечна по-крайней мере на интервале
Тогда для всех функция
представляется в виде
где точка
находится между
и
Формулу (5) называют (глобальной) формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
Если в формуле (5) положить то получим равенство
или, обозначая
будем иметь
Эту формулу называют формулой Лагранжа. Она верна в случае, когда функция непрерывна отрезке
а
существует и конечна по-крайней мере на интервале
Дата публикования: 2015-11-01; Прочитано: 1179 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!