Теоретические основы использования радиальных базисных функций

В модуле Geostatistical Analyst радиальные базисные функции формируются над каждой опорной точкой. РБФ - это функция, которая меняется с расстоянием. Например, на ри­сунке 22 показаны три точки, и для каждой из них функция РБФ показана своим цветом.

Рисунок 22 - Радиальные базовые функции

В данном примере, радиальная базисная функция - просто рас­стояние от каждой точки, поэтому над каждой точкой она обра­зует перевернутый конус. Если вы посмотрите на сечение плос­кости x,z для значения у = 5 (рисунок 22), вы увидите разрез каждой из приведенных РБФ.

Теперь предположим, что вам надо найти значение функции для точки у = 5, х = 7. Значение каждой из рассматриваемых функ­ций RBF в искомой точке может быть определено по графику, показанному на рисунке 22, (значения обозначены буквами f₁, f₂ и f₃) и зависит от расстояния до каждой из точек.

Интерполятор образуется путем нахождения взвешенного среднего w₁ f_] + w₂ f₂ + w₃f₃ +.... Вопрос заключается в том, как определить эти веса?

Ведь вы совсем не использовали значения данных! Веса w₁,w₂, w₃, и так далее, должны удовлетворять следующему условию:

если искомая точка будет помещена в точку с измеренным зна­чением, значение данных будет проинтерполировано точно. Это приводит к образованию системы из N уравнений с N неизвест­ными, для которой могут быть найдены однозначные решения.

Таким образом, поверхность проходит через опорные точки, то есть интерполятор является жестким. Функция RBF, приве­денная выше, является особым случаем мультиквадратиков.

В модуле Geostatistical Analyst можно также использовать другие функции РБФ, такие как полностью регуляризованный сплайн, плоский сплайн, сплайн с натяжением, и обратные мультиквадратрики. Часто разница между ними невелика, но у вас могут быть причины для выбора одной из них, либо вы можете попробовать использовать несколько функций, а затем для выбора оконча­тельной применить перекрестную проверку. Каждая функция РБФ имеет параметр, который контролирует "сглаживание" поверхности.

Для всех методов, за исключением обратных мультиквадриков, чем выше значение параметра, тем выше сглаживание поверх­ности; обратное утверждение верно для функции обратных муль­тиквадриков.

Модуль Geostatistical Analyst использует набор из п базисных функций, по одной для каждой опорной точки. Интерполятор - это линейная комбинация базисных функций [ ga]:

Где: φ(r) -радиальная базисная функция, r= ||s_i -s₀|| - эвкли­дово расстояние между интерполируемой точкой s₀ и каждой опорной точкой s_i, а { ω_i: i = 1, 2,..., n + 1} - оцениваемые значения весов.

Пусть w = (ω₁, ω₂ ,..., ω_n ), которые вычисляются путем решения системы уравнений.

где Ф - матрица с i,j - ым элементом φ ( ||s_i -s₀||) для пары опорных точек ij,

1 - вектор столбца, состоящий из единиц, a z - вектор столбца, содержащий данные.

Если φ - вектор, содержа­щий φ ( ||s_i -s₀||), интерполятор равен,

Где ω _п+1 - параметр смещенности.

Следует использовать аналогичный интерполятор,

где λ решает уравнение.

преимущество которого состоит в том, что он показывает весо­вые коэффициенты для всех данных. Веса отображаются в диа­логе Поиск соседства.

В модуле Geostatistical Analyst используются следующие ради­альные функции:

1. Полностью регуляризованный сплайн,

где ln - натуральный логарифм,

Е₁(х) - экспоненциальный инте­грал; (Abramowitz and Stegun, 1965, стр. 227),

С_Е - константа Эйлера. (Abramowitz and Stegun, 1965, стр. 255),

2. Функция сплайна с натяжением,

где К₀(х) - модифицированная функция Бесселя (Abramowitz and Stegun, 1965, стр. 374),

3. Мультиквадрик,

4. Обратный мультиквадрик

5. Плоский сплайн

Оптимальный параметр сглаживания σ определяется путем минимизации среднеквадратичных ошибок вычислений с ис­пользованием перекрестной проверки.

Радиальные базисные функции описаны Бишопом (Bishop, 1995. стр. 164). Развернутое описание радиальных функций и их свя­зей со сплайнами и методами кригинга можно найти в работах Cressie (1993, стр. 180) и Chiles и Delfmer (1999, стр. 272).