Визуализация интерполяции по методу локальных полиномов

Интерполяция по методу глобального полинома применяет по­лином ко всей поверхности.

Интерполяция по методу локаль­ных полиномов использует несколько полиномов, каждый из которых подбирается для отдельного участка (участки граничат между собой и перекрываются).

Поиск соседей может быть оп­ределен с использованием диалога Поиск соседства. В диалоге могут быть определены форма области поиска, максимальное и минимальное количест­во используемых точек и конфигурация секторов поиска. Поми­мо этого, можно задать ширину полосы поиска наряду с параме­тром степени, который, в зависимости от расстояния, будет уменьшать веса опорных точек, попадающих в область соседст­ва. Таким образом, интерполяция по методу локального полино­ма позволяет строить поверхности, больше учитывающие ло­кальную вариацию.

Глобальный полином первого порядка позволяет провести через опорные точки ровную поверхность;

глобальный полином вто­рого порядка описывает поверхность с перегибом, что позволя­ет использовать его для участков с долиной;

глобальный поли ном третьего порядка допускает наличие двух перегибов в по­верхности; и т.д.

В тех случаях, когда у поверхности другая форма, как в нашем примере, когда сначала мы видим склон, затем поверхность выравнивается, а затем снова образу­ет склон (рисунок 10), единый глобальный полином не сможет достаточно хорошо описать форму поверхности.

Рисунок 10 – Визуализация методом локальных полиномов

Более точно отразить ха­рактер поверхности смогут несколько плоскостей, построенных с использованием полиномов.

Интерполяция по методу локальных полиномов подбирает по­лином определенной степени (например, нулевой, первой, вто­рой и третьей), используя точки только из заданной области со­седства. Соседние области перекрываются, и значение, исполь­зуемое для каждой искомой точки - это значение подобранного полинома в центре области соседства.

Использование нескольких меньших перекрывающих плоскостей, а затем использование центра каждой плоскости как интерполируемое значение для каждой точки на этой плоскости, позволит сделать результирующую поверхность будет бо­лее гибкой и более точной.

Это концептуальная основа для интерполяции по методу локальных полиномов.

На рисунке 11 приведен профиль для опорных точек со значениями высот (поперечный разрез). На левом рисунке, по­казаны три соседние точки (обозначены красным цветом), ис­пользованные для расчета полинома первой степени и линия полинома (красная линия), по которой получено значение иско­мой точки, обозначенной голубым цветом.

Значение второй точ­ки (обозначенной на правом рисунке желтым цветом) вычисле­но с использованием другого полинома первой степени. Точка расположена очень близко к первой точке, и в вычислениях были использованы те же самые опорные точки; но присвоенные им веса немного отличались друг от друга, поэтому и подобранный полином (голубая линия) несколько отличается от первого.

Рисунок 11 – Профиль для опорных точек

Этот процесс повторяется, при этом центр смещается в последу­ющую искомую точку, и для определения значений этих точек подбираются локальные полиномы.

На рисунке 12 показаны последующие стадии нахождения интерполированных значений.

На рисунке 12а две искомые точки, вычисленные в процессе по­строения результирующей поверхности. Значение оранжевой точки получено по подобранному полиному, показанному зеле­ной линией, на основе значений зеленых опорных точек. Значе­ние коричневой точки получено с использованием полинома, показанного сиреневым цветом.

На рисунках 12б отображены еще два подобран­ных полинома (желтая и серая линия) для двух искомых точек (бирюзовая и зеленая точки).

а)

б)

Рисунок 12 – Профиль для опорных точек

Этот процесс повторяется для всех точек. На нижнем рисунке 13 показано, как строится поверхность (малиновая ли­ния) для опорных точек.

Рисунок 13 – Результирующая поверхность

Модель оптимизируется путем повторяющейся перекрестной проверки результирующих поверхностей, рассчитанных с ис­пользованием различных параметров.

Оптимальный параметр выбирается таким образом, чтобы минимизировать среднеквад­ратичную ошибку подобно тому, как это делается при выборе параметра степени ' р ' при использовании интерполяции по ме­тоду взвешенных расстояний (IDW).