Нормального распределения при известной дисперсии

Предположим, что исследуемая случайная величина Х распределена по нормальному закону с известным средним квадратическим отклонением , и требуется по значению выборочного среднего оценить ее математическое ожидание . Будем рассматривать выборочное среднее как случайную величину а значения вариант выборки как одинаково распределенные независимые случайные величины , каждая из которых имеет математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение . При этом . Оценим вероятность выполнения неравенства . Применим формулу для вероятности попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал. Имеем

Тогда, учитывая, что

,

получим

где . Следовательно, и предыдущее равенство можно переписать в виде:

.

Таким образом, значение математического ожидания а с вероятностью (надежностью) γ попадает в интервал , где значение t определяется из таблиц для функции Лапласа так, чтобы выполнялось равенство

Пример. Найдем доверительный интервал для математического ожидания нормально распределенной случайной величины, если объем выборки ; , а доверительная вероятность

Определим t, при котором Тогда

или доверительный интервал, в который попадает а с надежностью 0,9.